¿Cuándo podemos intercambiar$\partial/\partial x$ con el signo integral, o conmutar dos de esos operadores en general?

Question

En matemáticas aplicadas, cuando podemos asumir que nos permite hacer esto:

$$ \frac{\partial}{\partial x}\int_{x}\int_{y}\cdots\int f(x, y,\cdots)\ dx\ dy\ d(\cdots)= \int_{x}\int_{y}\cdots\int \frac{\partial}{\partial x}\left[f(x, y,\cdots)\right]\ dx\ dy\ d(\cdots),$$

donde $f(x,y,\cdots)$ es una función continua y diferenciable sobre el dominio de las variables $(x, y, \cdots)$?

Si consideramos que la diferenciación y la integral de aquí como a los operadores, a continuación, una pregunta más general sería acerca de las condiciones (o propiedades) que haga que dos los operadores de $T_{1}[\cdot]$ $T_{2}[\cdot]$ viaje?

Estoy interesado aquí en la aplicación de tales normas a la práctica los cálculos (por ejemplo, en ciencias físicas), por lo que cualquier práctica pertinente notas u observaciones acerca de tales condiciones sería bueno.

Answer 1

Excelente pregunta. Más bien esta es LA pregunta en un montón de matemáticas superiores que investigar necesarias o suficientes condiciones para la conmutación de los operadores en

$$\lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx = \int \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = \int f(x) dx$$

Basado en tus otras preguntas, parece que te están tomando el primer o segundo año de Cálculo, donde siempre se puede cambiar derivada e integral. No es de esperar que algunos nota de pie de página o algo en su libro diciendo que todas las funciones en el texto de satisfacer las condiciones para la conmutación.

Como para aplicaciones, recuerdo

1. esto puede haber sido mencionado brevemente en una clase de finanzas involucran diferenciales o de opciones.

2. esto ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales parciales, tales como la solución de la ecuación del calor mediante series de Fourier.

Por ejemplo, una solución para la ecuación del calor $u_t = u_{xx}$

podría ser

$$u=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin(\frac{n \pi x}{L}) dx \sin(\frac{n\pi x}{L}) e^{-\frac{n^2 \pi^2 t}{L^2}}$$

Ahora a empezar a diferenciar este con respecto al $x$ o $t$, tenemos que justificar $$\frac{\partial}{\partial x} \sum = \sum \frac{\partial}{\partial x}$$

Tenga en cuenta que usted no técnicamente cambiar cualquier $\partial$ $\int$ porque $\int$ no es en realidad sólo una función de $n$ $L$ e no $x$ o $t$.

Como para aplicaciones del mundo real: "el Mundo de la Aniquilación"