Considere el siguiente Lagrangiano (Ejercicio 3.6 B de Abraham y Marsden Fundamentos de la Mecánica): $$ L(\upsilon)=\frac12g(\upsilon,\upsilon)+V(\tau_Q\upsilon)+g(\upsilon,Y(\tau_Q\upsilon)) $$ ($V \colon Q \rightarrow \mathbb{R}$ es una función suave; $Y \colon Q \rightarrow TQ$ es un vector de campo; $\tau_Q\colon TQ\rightarrow Q$ es la tangente del paquete). Mi objetivo es calcular la correspondiente transformación de Legendre $FL \colon TQ \rightarrow T^*Q$. Era fácil lidiar con la primera plazo $L_1(\upsilon)=\frac12g(\upsilon,\upsilon)$: $$ \begin{aligned} \langle FL_1(\upsilon) |\, w\rangle &= \left.\frac{d}{ds}\left[\vphantom{\frac{d}{ds}}L_1(\upsilon+sw)\right]\right|_{s=0}=\left.\frac{d}{ds}\left[\vphantom{\frac{d}{ds}}\frac12g(\upsilon+sw,\upsilon+sw)\right]\right|_{s=0}\\ &=\frac12\left.\frac{d}{ds}\left[\vphantom{\frac{d}{ds}}g(\upsilon,\upsilon)+g(\upsilon,sw)+g(sw,\upsilon)+g(sw,sw)\right]\right|_{s=0}\\ &=\frac12\left.\frac{d}{ds}\left[\vphantom{\frac{d}{ds}}s(g(\upsilon,w)+g(w,\upsilon))+s^2g(w,w)\right]\right|_{s=0}\\ &=g(\upsilon,w), \end{aligned} $$ pero estoy atascado con los otros dos términos, por las razones que yo mismo no entiende. Debo ser capaz de calcular el $FL$ usando una simple regla de la cadena, pero el diferencial de $T\tau_Q$ de el lote somewhy me confunde.
Así, en caso de que sea apropiado para las Matemáticas.SE,
podría alguien poner un ejemplo de cálculo de $L_2(\upsilon)=V(\tau_Q\upsilon)$?
