¿Qué es un polinomio irreductible en$\mathbb{Z}$ que tiene la raíz$\sqrt{2}+\sqrt{3}$?

Question

¿Qué es un polinomio irreductible en$\mathbb{Z}$ que tiene la raíz$\sqrt{2}+\sqrt{3}$? Obviamente esa raíz no está en$\mathbb{Z}$.

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Intenté$$(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3‌}))$$ That doesn't come out with integer terms. If I had to guess the degree of the integer coefficient irreducible polynomial, I'd guess $ 4 $, pero no sé.

Answer 1

Comience con$x=\sqrt 2+\sqrt 3$ y cuadre ambos lados:$$x^2=2+2\cdot\sqrt 6+3 $ $ Ahora vuelva a aislar la raíz cuadrada y el cuadrado:$$(x^2-5)^2=(2\cdot\sqrt 6)^2=24 $ $ Expandir. (¿Por qué el polinomio resultante es irreductible?)

Answer 2

Considere el producto: \begin{align*} (x-\sqrt2-\sqrt3)&(x-\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)\\ &=\bigl((x^2-\sqrt2)^2-3\bigr)\bigl((x^2+\sqrt2)^2-3\bigr)\\ &=(x^2-1-2\sqrt2x)(x^2-1+2\sqrt2x)\\ &=(x^2-1)^2-8x^2=x^4-10x^2+1 \end {align *} Este polinom es irreductible sobre$\mathbf Q$, ya que el cálculo anterior mostró todas las posibles factorizaciones sobre$\mathbf R$ y ninguno de estos tiene coeficientes racionales.