¿Cómo se convierte$x^3 - \sin^3 x$ en$x^3 + \frac{1}{4}\sin{3x}-\frac{3}{4}\sin x$?

Question

Iba a través de las respuestas a esta pregunta y encontré esta respuesta y me preguntaba cómo el usuario llegó a la primera línea donde se indique:

$$f(x) \equiv x^3 - \sin^3 x = x^3 + {1 \over 4} \,\sin {3x} - {3 \over 4}\,\sin x$$

¿Cómo se $x^3 - \sin^3 x$ se $x^3 + \frac{1}{4}\sin{3x}-\frac{3}{4}\sin x$?

Están utilizando algunos de identidad simple o existe alguna otra observación que ocurre?

Gracias!

Answer 1

SUGERENCIA: $$\sin{3x}=3\sin {x} -4\sin^3 x \\ \sin {(A+B)}=\sin A \cos B + \cos A \sin B$ $

Answer 2

Esto viene de las reglas para el seno de los múltiples de un ángulo.

Esto puede ser derivada del hecho de que $e^{i \theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$ $i=\sqrt{-1}$

Tenemos $e^{i n\theta} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

Pero también se $e^{i n\theta} = (\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n$

Con las partes real e imaginaria equipara esto nos da las fórmulas que figuran en el enlace.

(como se indicó en otra respuesta, que normalmente comienzan con $\sin(n\theta)$ y llegar a una función con $\sin^n(\theta)$ en lugar de al revés)

Answer 3

Insinuación:

ps

Answer 4

Sugerencia: $$\sin x =\frac{opposite}{hypotenuse}$ $