Estoy buscando un ejemplo de un módulo, que no es proyectivo $k[X,Y]/(X^3,Y^5)$, pero proyectivo para el % de dos subalgebras $k[X]/(X^3)$y $k[Y]/(Y^5)$. (Creo que es relevante, pero en este caso la característica del campo subyacente debe ser $5$ o $3$).
Supongo que existe un ejemplo, pero no sabemos con certeza. Si $X$ y $Y$ tienen el mismo orden que es la cardinalidad del campo, a continuación, un ejemplo existe por supuesto. ¿Alguien tiene una idea para este caso no homogéneo?
Yo ya encontré un ejemplo de dicho módulo:
Tome el módulo con generadores $u,v,w$. La $Y$-acción sólo genera nuevos vectores de la base y el $X$-acción se define como sigue: $XY^iu=Y^iv$ % todo $i$, $XY^iv=Y^{i+1}w$ % todo $i$y $Xw=Y^4u$.
Esto es proyectivo como módulo $k[X]/X^3$ y $k[Y]/Y^5$, pero no proyectivas (no libre) para $k[X,Y]/X^3,Y^5$, ya que es $15$-dimensional, pero tiene dos dimensiones zócalo (generado por $Y^4v$ y $Y^4w$).
Aquí es limitado, no hay respuesta.
Los tres anillos $k[x,y]/(x^3,y^5)$, $k[x]/(x^3)$, y $k[y]/(y^5)$ son locales, por lo que proyectiva = libre.
La dimensión de un módulo que es proyectiva, tanto de los anillos pequeños, debe ser un múltiplo de 15, y yo sospecho que es claro que la acción debe también encajan de manera que el módulo resultante es gratuita sobre el original anillo.
El módulo normal no contiene adecuada, distinto de cero submódulo que es proyectiva tanto subrings (sólo por la dimensión de conteo). Más de un anillo de grupo, esto significaría que el cálculo se ha terminado, creo, pero tal vez uno tiene que ser más cuidadosos en general. A continuación doy lo que espero es que una reducción de este caso.
Si los dos poderes son los mismos, entonces el mínimo común múltiplo puede ser un poco más pequeño. Para $k[x,y]/(xx,yy)$ uno tiene el submódulo generado por $x+y$ es gratuito tanto subrings $k[x]/(xx)$$k[y]/(yy)$, pero por supuesto no es gratuita sobre el original (local) del anillo debido a la dimensión de los problemas.
Tal vez este cálculo funciona se puede hacer para trabajar en general: $$R = k[x,y]/(x^3,y^5) = k[x]/(x^3) \otimes k[y]/(y^5) = X \otimes Y$$ Si $M$ $X$- libre,$X\otimes M \cong M$, y si $M$ $Y$- libre,$Y \otimes M \cong M$. Por lo tanto $$R \otimes M \cong (X \otimes Y) \otimes M \cong X \otimes ( Y \otimes M ) \cong X \otimes M \cong M$$ Algo va mal (isomorfo más que el anillo?) ya que esto no utilizar el relativamente primer hipótesis, pero espero que reduce la cuestión a la $R$-módulo de $R$, donde es claro en la relativamente primer caso.
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