¿Es esta función Lebesgue integrable?

Question

Tengo que decidir si la siguiente función es integrable a Lebesgue en$[0,1]$:

$$g(x)=\frac{1}x\cos\left(\frac{1}x\right)$$ where $x \ in [0,1]$.

$g(x)$ es integrable de Lebesgue si y solo si la integral de$|g(x)|$ es finita

Asi que, $\int_{[0,1]} |\frac{1}x\cos\left(\frac{1}x\right)| dm < infinite???$

No sé cómo probar eso,

He pensado en utilizar el teorema de convergencia monótona, pero no tengo idea de cómo definir$f_n$ una secuencia de funciones medibles.

Answer 1

De forma heurística, cada pico en la gráfica de $|\frac1x\cos\frac1x|$ contribuye a la integral por algo más o menos proporcional al producto de su altura y anchura.

La altura del pico centrado en $x_0$ de curso $\frac1{x_0}$. El ancho es inversamente proporcional a la (valor absoluto) de los derivados de $\frac 1x$ $x_0$ (ya que todos los picos de $\cos$ sí son igual de ancho).

Así, a grandes rasgos, el pico de a $x_0$ tiene de área proporcional a $\frac{1/x_0}{\left|-1/x_0^2\right|} = x_0$ sí.

Hay un pico en $x_0 = \frac{1}{(n+\frac12)\pi/2}$ para cada entero $n$. La suma de estas áreas son una serie armónica, que diverge.

Probablemente es posible convertir esta a una rigurosa prueba de delimitación $|g(x)|$, desde abajo, por una secuencia de distintos rectángulos (uno para cada pico) cuyo total de áreas divergentes.

Answer 2

Primero observar que: $$\int_0^1 |g(x)|~dx=\int^1_0 \left|\frac{1}x\cos\left(\frac{1}x\right)\right|~dx\\ =\int^\infty_1 \left|\frac{1}x\cos\left(x\right)\right|~dx$$ Tenemos: $$\int^\infty_1 \left|\frac{1}x\cos\left(x\right)\right|~dx\geq \sum_{n=1}^{\infty}\int^{2(n+1)\pi}_{2n\pi} \left|\frac{1}x\cos\left(x\right)\right|~dx\\ \geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2(n+1)\pi}\int^{2(n+1)\pi}_{2n\pi} \left|\cos\left(x\right)\right|~dx\\ =\int^{0}_{2\pi} \left|\cos\left(x\right)\right| ~dx\times \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2(n+1)\pi}$$ El lado derecho se bifurca y por lo tanto la integral diverge.