¿La función gamma es expresable como un integral adecuado?

Question

¿La función gamma es expresable como un integral adecuado de funciones elementales? También le permiten componer con sin embargo muchas funciones elementales. Pero estrictamente no tiene límites.

[editar] Hasta ahora las respuestas mover el límite dentro de la integral. ¿Es todavía elemental?

Answer 1

Sí, aunque probablemente no quieres mucho: considerar $$ \int_0^1 2x \left(-2\log{x}\right)^{n-1} \, dx. $ $ porque $x (\log{(1/x)})^n \to 0$ $x \to 0$, el integrando es continua y acotada en $(0,1]$. Por lo tanto, se trata de un integral adecuado. Ahora, situado $x^2 = e^{-t}$, que $$ 2x \, dx = - e^{-t} \, dt, $ $ y $ -2\log{x} = -2\log{(e^{-t/2})} = t $. Entonces el integral se convierte en $$ \int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-t} \, dt = \Gamma(n). $ $

Answer 2

También se puede hacer esto: $$\begin{align}\Gamma(t) &= \int{x=0}^\infty x^{t-1} e^{-x} \, dx \ &= \int{x=0}^1 x^{t-1} e^{-x} \, dx + \int{x=1}^\infty x^{t-1} e^{-x} \, dx \ &= \int{x=0}^1 x^{t-1} e^{-x} \, dx + \int{u=1}^0 (u^{-1})^{t-1} e^{-1/u} (-u^{-2}) \, du \ &= \int{x=0}^1 x^{t-1} e^{-x} + x^{-t-1} e^{-1/x} \, dx, \end{align}$$ and the function $$f(t;x) = x^{t-1} e^{-x} + x^{-t-1} e^{-1/x}$$ is bounded on $x \in (0,1) $ for $t > 1$.