¿Para casi cada $x$ $\forall\varepsilon>0:\ |f(x)-g(x)|<\varepsilon\ \Rightarrow\ f=g$ casi en todas partes?

Question

¿Parece intuitivo, pero lo que sería la prueba rigurosa?

Answer 1

Insinuación:

ps

Answer 2

Sugerencia: Que $D$ como el tal que $\forall\varepsilon>0$, $|f(x)-g(x)|

Answer 3

Espero que no me equivoco, pero ¿no es eso más fácil por la contradicción?

La negación de $f=g$ a.e. es "existe un conjunto de $A$ cuya medida es diferente y en que $0$ $f\neq g$".

Supongamos que existe un conjunto de $A$, cuya medida no es cero y que $f(x)\neq g(x)$ para cualquier $x\in A$ (es decir, $f=g\text{ (a.e.)}$ es false). Entonces, para cualquier $x{0}\in A$, usted tiene $f(x{0})-g(x{0})\neq 0$. Por lo tanto, tomar $\epsilon=\tfrac{1}{2}\vert f(x{0})-g(x_{0})\vert$ y obtener una contradicción.