Útil de matrices "cíclicos"

Question

Tengo un conjunto de matrices de $A_{n\times n}$ $I+A+A^2+A^3+A^4 = 0$ que.

Puedo ver que $A^5 = I \Rightarrow A^{k+5}=A^k$. ¿Cómo es esto posible si no A consisten de una serie de matrices de permutación?

La pregunta de la tarea es: ¿Qué podría decirse de $\dim(\operatorname{span}(I,A,A^2,A^3,....))$?

Answer 1

Este es un pensamiento. Podría ser de ayuda. Dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en una base para el espacio. En su caso, su espacio vectorial es $span(I,A^1,A^2,A^3,A^4,...)$. Ya sabes cualquier "vector" que viene después de $A^4$ es decir $A^5$ y así sucesivamente, puede ser escrito en términos de $(I,A^1,A^2,A^3,A^4)$. Usted sabe también que saber que hay un no-cero combinación de este tipo de "vectores" que da cero. Así, deben ser linealmente dependientes. Esto deja a la posible dimensión sea inferior o igual a 4.

$A^5=I$. Esto indica que $A$ es invertible, y por lo tanto diagonalizable. También, la ecuación se satisface a través de nuestra matriz. Ahora, cualquier ecuación polinómica satisfecho por la matriz deben ser satisfechas por los autovalores (donde la identidad es sustituido por uno). En esta situación, es un 4 de grado del polinomio y tiene 4 raíces. He comprobado numéricamente. Son 2 diferentes raíces complejas y sus conjugados. Vamos a poner en las diagonales de una matriz diagonal $D$. Para algunos es invertible la matriz de $P$ $A$ debe $A=PDP^{-1}$. He observado que $D$ , $D^2$ y $D^3$ $D^4$ son todos la misma matriz diagonal con sólo el orden de las entradas de la diagonal cambiado. Ahora, desde el concepto de minimial polinomios, sólo queda ver si $n\leq 4$. Porque, para cualquier polinomio $p(.)$ si $p(A)=0$, significa que el polinomio mínimo de a $A$ debería de dividir. Por lo $n\leq 4$, de lo contrario, usted no obtendrá una ecuación como esta. En cualquier caso, la respuesta debe ser una especie de min(n,4). ( Me di cuenta de que se ha señalado ya).