Descomposición de la representación regular izquierda del grupo cíclico sobre $\mathbb{Q}$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico de orden $p$ , donde $p$ es primo. Sea $V = \mathbb{Q}(G)$ sea el anillo de grupo racional de $G$ . ¿Cómo se descompone explícitamente $V$ como una suma directa de representaciones irreducibles? Si trabajáramos sobre $\mathbb{C}$ entonces sé que las representaciones irreducibles de $G$ son sólo $1$ -donde el generador de $G$ actúa por una raíz de la unidad (aunque incluso ahí no conozco una descomposición explícita de la representación regular izquierda). Pero sobre $\mathbb{Q}$ Ni siquiera conozco las representaciones irreducibles.

Answer 1

$$\mathbb{Q}[\mathbb{Z}/n] = \mathbb{Q}[X]/(X^n - 1) = \mathbb{Q}[X]/\displaystyle\prod_{d|n} \Phi_d = \bigoplus_{d|n} \mbox{ } \mathbb{Q}[X]/\Phi_d = \bigoplus_{d|n} \mbox{ } \mathbb{Q}(\zeta_d).$$