No todo submanifold es imagen inversa de un valor regular

Question

$\Bbb RP^1 \to \Bbb RP^2$ es una incrustación. Demuestre que $\Bbb RP^1$ no puede denotarse como imagen inversa de un valor regular para algún mapa suave sobre $\Bbb RP^2$ .

Answer 1

Supongamos que $f$ es cualquier función suave de $\mathbb{R}P^2$ a $\mathbb{R}$ que tiene $\mathbb{R}P^1$ como conjunto de niveles. Demostraremos que cada punto de $\mathbb{R}P^1$ es singular.

Cambiando $f$ a $f + c$ para una constante $c$ podemos suponer wlog que $\mathbb{R}P^1 = f^{-1}(0)$ .

Desde $\mathbb{R}P^2 - \mathbb{R}P^1$ es conexo y puesto que $f$ nunca es $0$ en él, $f$ debe tener signo constante en $\mathbb{R}P^2 - \mathbb{R}P^1$ . Sustituyendo $f$ por $-f$ si es necesario, podemos suponer que el signo es positivo.

Pero entonces $0$ es el mínimo global de $f$ y por tanto, por cálculo estándar, la derivada de $f$ debe desaparecer en todos los puntos de $\mathbb{R}P^1$ . En particular, cada punto de $\mathbb{R}P^1$ es singular.