¿Debe aprender uno interesado en álgebra conmutativa "complicaciones no conmutativa" de álgebra homológica?

Question

He encontrado que en la mayoría de los libros de álgebra homológica, el autor(s) de trabajo en la configuración general de no conmutativa anillos. Esto lleva a varios irritantes complicaciones. Por ejemplo, el producto tensor $M\otimes_R N$ sólo tiene sentido si $M$ es un derecho $R$-módulo de e $N$ es una izquierda $R$-módulo.

Personalmente estoy completamente desinteresado en álgebra no conmutativa. Debido a esto, cada vez que he estudiado álgebra homológica en el pasado he ignorado estos detalles y mentalmente asumido que todos los anillos son conmutativas.

Sin embargo, se me ha ocurrido que quizás podría ser paralizante a mí mismo haciendo esto. Sin duda hay muchos lugares en las matemáticas, donde considerando más general de la configuración proporciona más información acerca de la configuración de uno está interesado en. Por ejemplo, permitiendo nilpotent coordinar los anillos en la geometría algebraica permite construir útiles mapas o de la integral de dominios que uno está interesado en, lo que puede dar de lo contrario, no está disponible la información.

Generalmente hablando, quiero pedir algunos ejemplos en los que ser conscientes de las complejidades de la no conmutativa álgebra homológica es importante para alguien interesado en el estudio de anillos conmutativos.

Answer 1

Si usted necesita para aprender rápidamente algunas herramientas para aplicarlas a álgebra conmutativa problemas, entonces en principio puede suponer que $R$ es conmutativa, que todos los módulos son de izquierda (o de derecha, si te gusta), y así sucesivamente. En realidad, una gran introducción al álgebra homológica es un apéndice a Eisenbud del libro de texto de álgebra conmutativa.

Pero luego hay un par de puntos importantes:

• Distinguir izquierda y derecha de los módulos y la escritura de las fórmulas correctas no es difícil en absoluto y puede incluso llevar a un limpiador de exposición de algunos temas. También es bueno saber donde la conmutatividad de la base del anillo que realmente importa en álgebra homológica (respuesta: casi ningún lugar en el muy construcciones básicas y argumentos).

• Usted puede estar interesado en álgebra no conmutativa, pero hay algunas situaciones donde no conmutativa anillos surgir de forma muy natural. Por ejemplo, el grupo de (co)homología es muy importante, y hay que básicamente trato con los módulos a través del anillo de grupo $\mathbb{Z} [G]$ algunos $G$: $$H^n(G, A) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z} [G]} (\mathbb{Z},A), \quad H_n (G,A) = \operatorname{Tor}^{\mathbb{Z} [G]}_n (\mathbb{Z}, A).$$ El anillo de $\mathbb{Z} [G]$ es no conmutativa, si $G$ es. Por supuesto, no es muy no conmutativa, ya que puede ser canónicamente identificado con su opuesto del anillo a través de $g \mapsto g^{-1}$. Pero aún así, usted debe tener cuidado acerca de la izquierda y la derecha para evitar errores tontos.

• Lo mismo ocurre con la Mentira de álgebra (co)homología, como usted trabaja básicamente con los módulos a través de la envolvente universal de álgebra $U (\mathfrak{g})$: $$H^n (\mathfrak{g};M) = \operatorname{Ext}_{U (\mathfrak{g})}^n (R,M), \quad H_n (\mathfrak{g};M) = \operatorname{Tor}^{U (\mathfrak{g})}_n (R,M).$$

• Creo que otras personas pueden llegar con más ejemplos de no conmutativa anillos derivadas de forma muy natural.

• Además, no olvides que el álgebra homológica es sobre arbitraria abelian categorías (de sus categorías derivadas, etc.), no sólo los que vienen de $R$-módulos... En muchos de los argumentos fundamentales, no habrá ninguna módulos.

Esto es sólo una humilde opinión personal que viene de mi experiencia en la enseñanza de álgebra homológica: me acabo de dar cuenta de que si quería hablar de grupo o Mentira álgebra cohomology (para dar algunas aplicaciones!), He tenido que lidiar con no conmutativa anillos desde el principio, y también que noncommutativity de $R$ no fue realmente afectan a cualquier básicos argumentos / definiciones.