Dado $4$-potencial de $A^\mu(x)=(\phi(x),\mathbf{A}(x))$, el vacío ecuaciones de Maxwell: $$\nabla^2\phi+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot \mathbf{A} )=0$$ $$\nabla^2 \mathbf{A} -\frac{\partial^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} - \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\partial \phi}{\partial t})=0$$
No es redundante grado de libertad(d.o.f) en $A^\mu(x)$: $$A^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x) +\partial^\mu \lambda(x) $$
En el gauge de Coulomb: $$\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0 \tag{1}$$ Vacío Maxweel ecuación se convierte en: $$\nabla^2\phi =0 \tag{2}$$ $$\nabla^2 \mathbf{A} -\frac{\partial^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} = \nabla( \frac{\partial \phi}{\partial t}) \tag{3}$$
Entonces siempre podemos optar $\phi(x)=0$. Así que la pregunta se convierte en física grado de libertad es $A^\mu(x)= (0,\mathbf{A}(x))$ con una restricción $\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0$. Cada libro de texto, a continuación, dice el físico de los grados de libertad es $2$. Pero parece que todavía hay redundante d.o.f , siempre podemos hacer $$\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\rightarrow \mathbf{A}(\mathbf{x},t)+\nabla \Lambda(\mathbf{x})$$ tal que $$\nabla^2 \Lambda(\mathbf{x}) =0\tag{4}$$ Pero ecuación anterior es la ecuación de Laplace que tiene soluciones no triviales, armónica función. Por ejemplo, $\Lambda(\mathbf{x}) = xyz $.
Mis preguntas
El uso de $\phi(x) =0 $$\nabla\cdot \mathbf{A}(\mathbf{x},t)=0$, he restan dos redundante d.o.f. , ¿por qué la fijación de $\Lambda(\mathbf{x})$ más no se puede restar más redundante d.o.f. ?
Muchos libros de texto se sostiene que $A^\mu(x)$ debe desaparecer en el infinito espacial, por lo que la ecuación de Laplace $(4)$ con cero de la condición de límite en el infinito tiene sólo la solución trivial. Pero ¿por qué tenemos que requieren $A^{\mu}$ desaparecer en el infinito espacial? Por ejemplo, un campo magnético uniforme ha $\mathbf{A}(x) = \mathbf{B}\times \mathbf{r}/2$ que no se anula en el infinito. Si usted requiere que $A^\mu$ desaparecer en el infinito espacial, incluso se puede obtener la constante eléctrico o campo magnético soluciones de Vacío ecuaciones de Maxwell. E incluso el elctromagnetic solución de onda $e^{i k(t -x)}$ es también nonvanishing en el infinito espacial. Esta pregunta tiene relación con gauge de Coulomb fijación y "normalizability"
¿Por qué el libro de texto dice "gauge de Lorentz es invariante Lorentz, pero no puede solucionar todos los redundante d.o.f. Coulomb calibre puede solucionar todos redundante d.o.f pero no es invariante Lorentz. "? Pero es obvio que sólo gauge de Coulomb $(1)$ también se puede solucionar todos los redundante d.o.f. Podemos ver que el indicador de fijación $\phi =0 $ no es una consecuencia de $(2)$. Esto ha forzado artificialmente y $\phi=0$ es independiente de gauge de Coulomb. Por ejemplo, el vacío ecuaciones de Maxwell $(2),(3)$ puede tener uniforme del campo eléctrico de la solución $\phi(x)=-\mathbf{E}\cdot \mathbf{r}$, $\mathbf{A}=0$ satisfacer únicamente gauge de Coulomb $(1)$ pero $\phi(x)\neq 0$. Si se nos exige $\phi=0$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$, la solución se vuelve $\phi=0$$\mathbf{A}= \mathbf{E} t$.
