No sé cómo responder a esto en general, pero aquí hay algo. Tal vez esto le dará a usted o a alguien más, algunas ideas si nada.
Supongamos que $X$ pertenece a la de un parámetro exponencial de la familia natural del parámetro $\theta$, por lo que
$$
f(x; \theta) = \exp \left( x \theta \kappa(\theta) + c(x) \right)
$$
para algunas funciones $\kappa$$c$. Las expectativas de $E(e^{-aX})$ que usted está considerando son momento de generación de funciones evaluadas en $t = -a$ así que vamos a considerar la MGF $M_{X_\theta}(t)$$X_\theta$, de donde yo soy suscripción con $\theta$ a destacar la dependencia de la $\theta$. Ya que estamos variando $\theta$ tan sólo voy a escribir $M_\theta$ en lugar de $M_{X_\theta}$. Se puede demostrar que
$$
M_\theta(t) = \exp \left( \kappa(t + \theta) - \kappa(\theta) \right).
$$
Desde $e^a \geq e^b \implies a \geq b$ podemos comparar $\log M_{\theta_1}(t) = \kappa(t + \theta_1) - \kappa(\theta_1)$$\log M_{\theta_2}(t) = \kappa(t + \theta_2) - \kappa(\theta_2)$.
Tenga en cuenta que
$$
\frac{\log M_{\theta_1}(t)}{\log M_{\theta_2}(t)} = \frac{\kappa(t + \theta_1) - \kappa(\theta_1)}{\kappa(t + \theta_2) - \kappa(\theta_2)} = \frac{{1 \over t}}{{1 \over t}} \times \frac{\kappa(t + \theta_1) - \kappa(\theta_1)}{\kappa(t + \theta_2) - \kappa(\theta_2)} \approx \frac{\kappa'(\theta_1)}{\kappa'(\theta_2)}
$$
si $t$ es pequeña.
Sabemos que $E(X_\theta) = \kappa'(\theta)$, y si hacemos la suposición de que $E(X_\theta)$ es monótonamente decreciente en $\theta$
$$
\theta_1 \geq \theta_2 \implica \frac{\kappa'(\theta_1)}{\kappa'(\theta_2)} = \frac{E(X_1)}{E(X_2)} \leq 1.
$$
Esto sugiere que para esta particular familia de distribuciones de al $t$ es pequeña, tenemos que $M_{\theta_1}(t) \leq M_{\theta_2}(t)$.
Nada de esto tiene sentido si $E(e^{tX})$ no es finito por lo que queremos limitarnos a las distribuciones donde la MGF converge. Aquí se dice que "[e]muy de distribución de la posesión de un momento de generación de la función es un miembro de una exponencial natural de la familia" por lo que parece que este resultado se aplica en realidad a una parte significativa de la 1 de parámetros de las distribuciones que podríamos atención acerca de.
