Existencia de un multiplicador de Lagrange (ecuaciones de Euler Lagrange + restricciones holonómicas)

Question

Deje $I=[a,b]\subset \mathbb{R}, G:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^k$ liso, $0<k<n, M=G^{-1}(0)$. Suponga que $DG(x)$ tiene rango completo para todos los $x\in M$. Fix $p_1,p_2\in M$ y asumen $u\in W^{1,\infty}(I,\mathbb{R}^n)$ minimiza el funcional dada por

$$J(u)=\int_a^bF(t,u(t),\dot{u}(t))dt $$

en el set $$S := \{u\in W^{1,\infty}(I,\mathbb{R}^n): u(a)=p_1,u(b)=p_2, u(t)\in M\}.$$

Mostrar que existe una función de $\lambda \in W^{1,\infty}(I,\mathbb{R}^k)$ tal que

$$\frac{d}{dt}F_p(t,u(t),\dot{u}(t)) -F_u(t,u(t),\dot{u}(t))= DG(u(t))^T\lambda(t).$$

Tengo como $\textbf{hint}$:

Cerca de $p\in M$, hay parametrizaciones $\psi:V\to U\subset M$ donde $V\subset \mathbb{R}^{n-k}$ $U\subset M$ contiene $p$. Supongamos primero $\bigcup_t\{u(t)\}\subset U$. Definir $w:I\to\mathbb{R}^{n-k}$ por

$$w(t) = (\psi^{-1}\circ u)(t) $$ y encontrar una adecuada funcional $\tilde{J}$ (en el espacio), que corresponde a $J$ y es minimizado por $w$. El uso de Euler-Lagrange las ecuaciones de $\tilde{J}$ y el hecho de que $DG(\psi(z))D_z\psi(z)=0.$

(para el caso general, cubierta $\bigcup_t\{u(t)\}$ coordinar con los parches y localizar por la subdivisión de la puesta en piezas que se encuentran dentro de ella los parches).

Simplemente estoy tratando de probar el caso más sencillo, pero tengo dificultades para encontrar tales $\tilde{J}$. Les agradezco a todos la ayuda y sugerencias.

Answer 1

Puede ser útil para que usted vea cómo derivar multiplicadores de Lagrange en el finito dimensionales configuración y, a continuación, generalizar a la variacional de configuración.

Vamos a trabajar con una curva en $\mathbb R^3$ para la concreción. Suponga que la curva está dada implícitamente por la restricción $G(\vec x) = 0$ donde $G: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2$ (y el rango de $G$ es de 2 a lo largo de la curva). Supongamos ahora que la curva se puede parametrizar como $\psi: \mathbb R \to \mathbb R^3, \psi: x \mapsto (x, g(x), h(x))$ en estas coordenadas (coordenadas siempre se puede encontrar debido a la máxima rango de asunción por el teorema de la función implícita). Entonces tenemos que $G(\psi(x)) = G(x, g(x), h(x)) = 0$ todos los $x$ y, por tanto, $D(G \circ \psi)^i = G^i_x + G^i_y g' + G^i_z h' = 0$ $i = 1,2$ (el argumento de $G^i$ $\psi(x)$ pero me suprimir por conveniencia notacional).

Ahora volvamos a encontrar los extremos de la función $F : \mathbb R^3 \to \mathbb R$ a lo largo de esta curva. Esto es equivalente a encontrar los extremos de la $F(\psi(x))$$\mathbb R$. Pero la condición de los extremos es $D(F\circ \psi) = F_x + F_y g' + G_z h' = 0$. Se nota que este es muy similar para la ecuación de las restricciones dadas por el teorema de la función implícita y por lo tanto es suficiente para solucionar $\nabla F = \lambda_1 \nabla G^1 + \lambda_2 \nabla G^2$ por dos desconocidos constantes $\lambda_1, \lambda_2$. Podemos sugestivamente reescribir esta ecuación como $DF = DG ^T \lambda$$\lambda = (\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb R^2$.

Ahora, volviendo a la variada configuración, todo funciona de manera muy similar, excepto que usted reemplace $D$s con $\delta$s. La aplicación de normas de variacional argumentos que usted puede entonces reducir las ecuaciones integrales para el tiempo local de la ecuación para cada $t$ y deducir la existencia de una constante $\lambda(t)$. La función de $\lambda$ $W^{1,\infty}(I, \mathbb R^k)$ precisamente porque debe satisfacer la de Euler-Lagrange ecuación y todas las demás funciones descubrir allí ($F\circ u$, $G\circ u$ y sus derivados) pertenecen a $W^{1,\infty}$ espacios.