Vamos a demostrar que no hay cúbicos función, que se desvanece en genérico cinco líneas de $L_1, \dots, L_5$. Considere la posibilidad de quadric $Q$ que contiene las líneas de $L_1, L_2, L_3$ (es un clásico hecho de que para los genéricos tres líneas no es único, quadric, que los contiene; además de que este quadric es suave).
Supongamos que hay una sección de $F \in H^0 \big( \mathcal{O}_{ \mathbb{P}^3 } (3) \big)$ que se desvanece en $L_1, \dots, L_5$. Considere la posibilidad de $f$ - restricción de la $f$$Q$. Recordemos que $Q = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$. Deje $x_1, x_2$ ser homogéneas las coordenadas en la primera $\mathbb{P}^1$ $y_1, y_2$ en el segundo.
$f(x_1, x_2 , y_1, y_2 )$ es un polinomio homogéneo de grado $(3, 3)$. Líneas de $L_1, L_2, L_3$ son sabvarietis de $Q$ se define como $a_i x_1 + b_i x_2 = 0$, $i= 1, 2, 3$. $f$ se desvanece en estas líneas, a continuación,
$$f(x_1, x_2, y_1 , y_2) = g( y_1, y_2) (a_1 x_1 + b_1 x_2)( a_2 x_1 + b_2 x_2)( a_3 x_1 + b_3 x_2)$$
Por lo $f$ desaparece en tres líneas de tipo $\mathbb{P}^1 \times \{ (t_1: t_2) \}$ (indicar por ellos $S_1$, $S_2$, $S_3$) y tres líneas de texto, $\{ (s_1: s_2) \} \times \mathbb{P}^1$ (es decir,$L_1$, $L_2$ $L_3$).
Por otro lado $F$ se desvanece en $L_ 4, L_ 5$. A continuación, $f$ se desvanece en su intersección con $Q$. Es de 4 puntos (para la posición genérica). Estos 4 puntos no se encuentran en $L_1, L_2, L_3$ (en la posición genérica $L_i$ $L_j$ no se cruzan). Por lo que se encuentran en $S_1, S_2, S_3$. Pero a los 4 genérico puntos de $Q$ no se encuentran en tres líneas. A continuación, $f$ se desvanece en $Q$.
Así que cero, el locus de $F$ es este cuadrática $Q$ y un avión. A continuación, $L_4$ $L_5$ se encuentra en este plano, lo que no ocurre en la posición genérica.
El apéndice. Vamos a demostrar que para el 3 no las líneas de intersección hay un único, quadric pasa a través de ellos. Y que es liso.
Primero de todo vamos a ver que hay uno. De hecho, $$\dim H^0 ( \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3} (2) ) = \binom{2+3}{2} = 10$$
$$\dim H^0 ( \mathcal{O}_{Z} (2) ) = 3 \times 3 = 9$$
Así que sabemos que el mapa de restricción tiene al menos una dimensión del núcleo. Os dejo como ejercicio para demostrar que cualquiera de las tres líneas en las que no liso quadric corta (probar este caso por caso para cuadrática de cono, la unión de dos planos y doble plano). Así que todos los quadrics pasar a través de esta líneas son suaves. Otro ejercicio es demostrar que si kernel tendría dimensión estrictamente a más de uno, entonces no debe ser no suave quadric. (sugerencia: nonsmooth quadrics se caracterizan por la ecuación de $\det G =0$ donde $G$ es la matriz simétrica de la forma). Esto implica, que kernel es unidimensional. Equivalentemente, nuestro quadric es único.
