Una categoría no local de pequeña natural

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría. Decimos que $\mathcal{C}$ a nivel local es pequeño si $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ es un juego para todos $A$, $B$ en $\mathcal{C}$.

No puedo pensar en cualquiera de los ejemplos de no-localmente pequeña de las categorías que 'obviamente' no local pequeño. Podemos tomar $\mathcal{C}$ a tener un objeto, y una de morfismos para cada $x \in V$ (dicen que en ZFC), con la composición de morfismos dada por la unión de dos conjuntos, pero no puedo pensar cuando esta vez iba a venir 'naturalmente'

Hay ejemplos naturales de la no-localmente pequeña de las categorías que, obviamente, no local pequeño?

Answer 1

Ejemplos sencillos son dadas por la "gran monoids," por ejemplo, el gran monoid de conjuntos en virtud de producto Cartesiano, o la gran monoid de espacios vectoriales en virtud de producto tensor. Si eres un fan de los números ordinales, la gran monoid de los números ordinales en virtud del ordinal suma es otro ejemplo. Más generalmente, usted puede tomar clases de isomorfismo de los objetos en una categoría monoidal bajo el monoidal producto, por ejemplo, una categoría con finito de productos o co-productos. (Recordemos que monoids son categorías pequeñas con un objeto. Esta identificación es perfectamente natural si uno está dispuesto a pensar en categorías, tanto como la configuración para el estudio de otros objetos matemáticos y como objetos matemáticos en su propio derecho.)

Como Lord_Farin dice en los comentarios, functor categorías también son localmente no pequeñas en general. Estos surgen naturalmente.