Propiedades de las funciones holomorfas (demostración)

Question

No sé cómo hacer esta demostración:

"Si f es una función holomorfa, y M $\in \mathbb{R}^+$ , tal que para $z \in \mathbb{C}$ , $|f(z)| \leq M(1+ |z|^n)$ , entonces f es una $n$ o un polinomio de menor grado"

Gracias por su atención.

Answer 1

Elige algunos $R>0$ . La estimación de Cauchy da $|f^{(k)}(0)| \le k! { M(1+R^n) \over R^k }$ .

Si $k>n$ podemos dejar que $R \to \infty$ para conseguir $f^{(k)}(0) = 0$ para $k > n$ .

El resultado se desprende de la expansión en serie de potencias de $f$ .

Answer 2

Pistas: $z^{-n} f(z)$ tiene una singularidad removible en $\infty$ . ¿Qué tipo de singularidad $f(z)$ ¿tiene allí? Después de restar ..., utiliza el teorema de Liouville.