Estoy aprendiendo algo de análisis complejo básico y me encontré con esta integral $$\int_{-i}^{i} \frac{dz}{z}.$$
En primer lugar, Wolfram no puede calcularlo, pero podría ser porque trata $i$ como un parámetro real (por cierto, ¿hay alguna forma de decirle a Wolfram cómo calcular integrales de contorno a lo largo de un contorno especificado?)
Como la función es analítica en cualquier dominio que no contenga el origen, la integral no depende de la elección del camino allí. Pero hay un problema con la antiderivada, $\log z$ que es multivaluada, y no sé exactamente cómo lidiar con eso. Así que no estoy seguro de si puedo utilizar el thm. fundamental de cálculo allí. Evaluando por parametrización directa, por ejemplo eligiendo una trayectoria circular en sentido contrario a las agujas del reloj a partir de $-i$ a $i$ da la respuesta $i \pi$ . Pero, a menos que haya cometido un error, la misma integral a lo largo de la trayectoria circular en el sentido de las agujas del reloj da la respuesta $-i \pi$ ...?
El ejercicio dice que use la fórmula integral de Cauchy, que me da que ( $C$ siendo un contorno circular en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen) $$2 \pi i = \oint _C \frac{dz}{z} $$
pero esto sólo me da lo mismo que obtuve mediante parametrización... ¿El ejercicio está planteado así a propósito para hacerte pensar, o estoy cometiendo algún error?
