Una pregunta sobre la composición de la imagen inversa de un homomorfismo de grupo y el propio homomorfismo

Question

Supongamos que $\phi:G_1 \rightarrow G_2$ es un homomorfismo de grupo y $H \leq G_1 $ . Demostrar que $\phi^{-1}(\phi(H))=H \cdot \ker(\phi) $ .

Intento de solución:

Pude demostrar fácilmente que $\phi^{-1}(\phi(H))\subseteq H\cdot \ker(\phi)$ debido a que si $h \in H$ y $k\in \ker(\phi)$ entonces $\phi(hk)=\phi(h)$ .

Sin embargo, tengo problemas con la inclusión inversa. Es decir, demostrar que si $hk\in H\cdot \ker(\phi)$ entonces $hk\in \phi^{-1}(\phi(H))$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Por los detalles que incluiste en tu OP, me sorprende mucho que no hayas encontrado esa inclusión primero. Me pregunto si tal vez pusiste la inclusión contraria a la que pretendías(?).

Si es así, siga leyendo:

Supongamos que $x\in \phi^{-1}(\phi(H))$ . Entonces $\phi(x)=\phi(h)$ para algunos $h\in H$ . De ello se desprende que $\phi(xh^{-1})=1$ Por lo tanto $xh^{-1}\in \ker(\phi)$ . Así, $x\in \ker(\phi)h\subseteq \ker(\phi)H$ .

Answer 2

Si $h\in H$ y $k\in\ker\varphi$ entonces $\varphi(hk)=\varphi(h)\varphi(k)=\varphi(h)\in\varphi[H]$ Por lo tanto, por definición $hk\in\varphi^{-1}[\varphi[H]]$ .