El grupo de Galois del campo finito ' encierro algebraico de s no es contable

Question

Estoy tratando de probar que el grupo $\operatorname{Gal}(\bar F_p /F_p)$ no es contable.

Mi idea es mostrar que en la secuencia

$F_p\leq F_{p^2}\leq F_{p^4} \leq \dots \leq F_{p^{2^n}} \leq\dots $

uno puede extender cualquier automophism en 2 distintos automorfismos de la extensión. Esto implicaría por inducción:

$|\bar F_p|\geq |\cup \{F_{p^{2^n}} : n \in \mathbb{N}\}|=2^ {\aleph_0}>\aleph_0$

En cualquier extensión, siempre puedo tomar algún elemento de la extensión y observar su polinomio mínimo. Su título es, al menos, 2 y por lo tanto, hay 2 diferentes automorfismos de que cada envío de ese elemento a otro de la raíz. Puedo saber con certeza que no son tales automorfismos que también preservar cualquier automorphism en la anterior extensión? Si es así, entonces creo que mi prueba es válida.

Me gustaría también para obtener más ideas para pruebas

Answer 1

Lo que parece estar haciendo podría formalizarse de la siguiente manera. Considere la posibilidad de una secuencia fija de bits de $\overline{b}=(b_0,b_1,\ldots)\in\{0,1\}^{\Bbb{N}}$. Definir la secuencia correspondiente de los exponentes $s_k=\sum_{i=0}^kb_i2^i$ todos los $k$. Definir un automorphism $\sigma_{\overline{b}}$ en la unión $$ E=\bigcup_{i=0}^\infty F_{p^{2^i}} $$ de la siguiente manera. Deje $\sigma_{\overline{b}}(z)=z^{p^{s_k}}$ todos los $z$$F_{p^{2^i}}$. Esto es en realidad un bien definidos automorphism de $E$, debido a que si (en realidad cuando) un elemento $z\in E$ pertenece a dos (o más) de los campos, decir $F_{p^{2^j}}$$F_{p^{2^\ell}}$$j<\ell$, luego para todos los $r\ge j$ tenemos $z^{p^{2^r}}=z$, por lo $z^{p^{s_\ell}}=z^{p^{s_j}}$.

Si dos secuencias de $\overline{b}$ $\overline{b}'$ son distintos, decir $b_\ell\neq b'_\ell$, luego se realizará la correspondiente diferencia en los automorfismos $\sigma_{\overline{b}}$ $\sigma_{\overline{b}'}$ en sus respectivas restricciones para el campo $F_{p^{2^{\ell+1}}}$ porque $s_{\ell+1}\neq s'_{\ell+1}$.

Por lo tanto, obtener $2^{\aleph_0}$ distintos automorfismos de a $E$. Usted puede luego invocar un resultado general diciendo que todos ellos pueden ser elevados a automorfismos de a $\overline{F}_p$ llegar su reclamo.