Objetivo de los axiomas de Peano

Question

Wikipedia dice que los Axiomas de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales. ¿El propósito de los axiomas es crear una base sobre la que podamos construir el resto de las matemáticas formalmente?

Si esto es cierto, ¿fueron elegidos porque se acordó que eran básicos y razonables?

No se ocupan de la teoría de conjuntos, que creía que era la base de la matemática formal, ¿son una alternativa a ella?

Answer 1

Los axiomas de Peano vienen a modelar los números naturales, y su propiedad más importante: el hecho de que podemos utilizar la inducción sobre los números naturales. Esto no tiene nada que ver con la teoría de conjuntos. Igualmente se puede hablar de los axiomas de un campo real cerrado, o de un espacio vectorial.

Los axiomas se dan para dar una definición de un objeto matemático. Es un escenario básico a partir del cual podemos demostrar ciertas proposiciones.

Sin embargo, resulta que es posible utilizar los números naturales como base para algunos de nuestras matemáticas, y podemos utilizar los axiomas de Peano para modelar la lógica de primer orden (su sintaxis y las reglas de inferencia), y la noción de prueba.

Esto puede verse como una base para algunas de las matemáticas que hacemos, sin embargo, a menudo es una base sintáctica solamente: sólo usamos los números enteros para manipular cadenas en nuestro lenguaje y secuencias de estas cadenas. No tenemos la noción de estructura, de modelo.

Pero parece que te confunde sobre todo el uso del término "axiomas". Son sólo propiedades básicas de un objeto matemático. En este caso "los números naturales". Al igual que hay axiomas en la geometría, pero la geometría no suele servir de base para muchas partes en las matemáticas.

Answer 2

Hay que separar dos enfoques, por supuesto interconectados pero conceptualmente independientes entre sí: la "rigurosidad" y la "fundamentación".

Con "rigorización" me refiero al trabajo de la mayoría de los matemáticos del siglo XIX sobre el cálculo, destinado a eliminar la oscuridad heredada de los descubrimientos de Newton y Leibniz. Los trabajos de Cauchy , Weierstrass , Bolzano, Cantor, etc. nos dieron la definición moderna de límite, etc. basada en números reales .

Este esfuerzo de rigorización fue completado a principios de siglo por Dedekind, Frege, Peano y Hilbert, que lograron varios grandes resultados :

• Dedekind (1872 - Continuidad y números irracionales ( Continuidad y números irracionales ) : análisis de los números irracionales y construcción de números reales como cortes Dedekind , es decir, como entidades no geométricas;

• Frege (1879 : Terminología y 1884 : Los fundamentos de la aritmética ) : lógica matemática moderna y análisis filosófico sobre la naturaleza de los números;

• Dedekind (1888 - ¿Qué son los números y para qué sirven? ( ¿Qué son los números y qué deben ser? ) y Peano (1889 - Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método ) : axiomatización del número natural, es decir, caracterización de la estructura matemática a la que nos referimos como "números naturales" en términos de algunos propiedades básicas (como usted ha dicho : "acordado como básico y razonable") forma que todas las propiedades conocidas de los números naturales (su "comportamiento") se pueden deducir de manera rigurosa (véase también Frege) .

• Hilbert ( 1899 - Fundamentos de la geometría ): axiomatización moderna de la geometría ;

• Hilbert ( 1928 - con Wilhelm Ackermann, Características básicas de la lógica teórica ) : fundamentos de la lógica matemática (basados en las obras de Peano, Frege y Russell)

• Hilbert ( años 20-30 - con Paul Bernays, Fundamentos de las matemáticas vol. 1 - 1934 y vol. 2 - 1939) : investigaciones matemáticas sobre sistemas formales.

Estos matemáticos (con Russell, Brouwer, Weyl) intentaron también desarrollar programas de investigación (por ejemplo, el logicismo, el intuicionismo, el formalismo) destinados a responder a cuestiones filosóficas básicas sobre la existencia de los objetos matemáticos (es decir, los números), el modo en que podemos tener conocimiento de ellos, etc.

Esos programas de investigación fueron impulsados en gran medida por el descubrimiento de las Paradojas (de Cantor, de Russell), por lo que se conocen como programas "fundacionales", destinados a encontrar los principios básicos que puedan "asegurar" nuestro conocimiento matemático.

Uno de los resultados más importantes de este movimiento fue la axiomatización de Zermelo de la Teoría de Conjuntos (ZFC) : con esto, los matemáticos fueron capaces de encontrar algunos axiomas básicos (pero esta vez NO todos "acordados y razonables") capaces de "generar" (hasta ahora sin contradicciones) todas las propiedades conocidas de los conjuntos Y capaces también de construir un proxy para otras estructuras matemáticas, como los números naturales. Esto significa que los axiomas de Peano para los números son ahora teoremas de la teoría de conjuntos.

¿Podemos decir que tenemos números reducidos para fijar ?

Desde un punto de vista: SÍ. El lenguaje de los conjuntos es tan básico que todos los conceptos matemáticos pueden ser "descritos" con él y los axiomas de los conjuntos son tan poderosos que todas las propiedades del concepto matemático definido pueden ser demostradas a partir de ellos.

Desde otro punto de vista (más filosófico) : NO. ¿En qué sentido podemos decir que nuestra percepción básica de la existencia de los números naturales y sus propiedades es menos "clara" o "cierta" que nuestra percepción de la existencia de los conjuntos (la jerarquía acumulativa) y sus propiedades (es decir, el axioma de elección)?

Answer 3

Los axiomas son para darnos una declaración de nuestro conocimiento de la aritmética que podemos estudiar por medios matemáticos. La idea es que para estudiar lo que se puede deducir lógicamente sobre la aritmética, primero se necesita un enunciado lo más completo posible de nuestro conocimiento de cómo funciona la aritmética, en una forma que haga que la consecuencia lógica sea lo menos ambigua posible. Por eso la aritmética de Peano. También nos da una medida de, por ejemplo, lo bien que nuestra teoría de conjuntos formaliza la aritmética; si nuestra construcción de los números naturales produce los teoremas de PA, podemos considerar con cierta confianza que es $\mathbb{N}$ .

La AP sería un sistema fundacional algo pobre. Hay muchas áreas de estudio matemático que no tienen que ver con los números. Por supuesto, PA es bastante fuerte y puede interpretar una serie de otros sistemas formales, pero para dar una idea de lo lejos que te llevaría, PA es equiconsistente con la teoría de conjuntos de Zermelo con la negación del infinito y el fundamento sustituido por un $\in$ -inducción, que es bastante débil.

Answer 4

En su artículo de 1965

Benacerraf, Paul, Lo que los números no pudieron ser. Philos. Rev. 74 (1965) 47-73,

Benacerraf señaló que si el observador A aprendió que los números naturales "son" los ordinales de Zermelo $\emptyset$ , $\{\emptyset\}$ , $\{\{\emptyset\}\}$ etc., mientras que el observador B aprendió que son los ordinales de von Neumann $\emptyset$ , $\{\emptyset\}$ , $\{ \emptyset, \{\emptyset\}\}$ Entonces, estrictamente hablando, se trata de cosas diferentes. Sin embargo, la práctica matemática real del observador A es prácticamente la misma que la del observador B. Por lo tanto, diferentes ontologías pueden apoyar una misma práctica.

La observación de Benacerraf nos ayuda a situar el marco de la teoría de conjuntos en una perspectiva adecuada: puede ser la base de la matemática formal si se decide que lo sea. Como ha observado, en el caso de la aritmética de Peano no tiene por qué serlo.

Obsérvese también que muchos matemáticos destacados ya no consideran que la teoría de conjuntos sea el fundamento de las matemáticas formales. Esto se debe a que, por diversas razones, la teoría de conjuntos es demasiado inflexible. Hoy en día, la investigación de vanguardia suele basarse en la teoría de categorías, en lugar de la teoría de conjuntos, como fundamento.

Answer 5

La teoría de conjuntos ZFC tiene un axioma de infinito que permite derivar los Axiomas de Peano. Sin embargo, hay teorías de conjuntos alternativas. Yo prefiero una sin axioma de infinito y comenzar el desarrollo de la teoría de los números planteando directamente los Axiomas de Peano como premisa inicial enunciada en el lenguaje de esa teoría de conjuntos.