Evaluar: $\int \frac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} dx$

Question

Evaluar: $\int \dfrac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} dx$

Mi intento: $$=\int \dfrac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} dx$$ $$=\int \dfrac {(\sin (\dfrac {x}{2}) + \cos (\dfrac {x}{2}))^2}{2\cos^2 (\dfrac {x}{2})} dx$$ $$=\dfrac {1}{2} \int (\dfrac {\sin (\dfrac {x}{2}) + \cos (\dfrac {x}{2})}{\cos (\dfrac {x}{2})})^2 dx$$ $$=\dfrac {1}{2} \int (\tan (\dfrac {x}{2}) +1)^2 dx$$

¿Cómo continúo?

Answer 1

Ya casi estabas allí, sólo sustituyendo $t=\tan(\frac x2)$ ahora.

$\displaystyle\dfrac 12\int \left(1+\tan(\dfrac x2)\right)^2\mathop{dx}=\int \dfrac{(1+t)^2}2\times\dfrac{2\mathop{dt}}{1+t^2}=\int \left(1+\dfrac{2t}{1+t^2}\right)\mathop{dt}=t+\ln(1+t^2)+C$

Observa que puedes sustituir directamente sin cambios trigonométricos intermedios:

$\dfrac{1+\sin(x)}{1+\cos(x)}=\dfrac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\dfrac{1+2t+t^2}{2}$

Answer 2

El segundo método consiste en dividir el numerador

$$\int\frac{\sec^2(x/2)}{2}dx+\int\frac{\sin x}{1+\cos x}dx$$

Así que la respuesta es $$\tan(x/2)-\ln|1+\cos x|+c$$

Answer 3

Una forma alternativa es esta $$\int \dfrac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} dx=\int \dfrac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} \dfrac {1-\cos (x)}{1-\cos (x)} dx=\int \dfrac {(1+\sin (x))(1-\cos(x))}{\sin^2(x)} dx\\=\int \csc^2(x)+\csc(x)-\csc(x)\cot(x)-\cot(x) dx$$

Answer 4

• La pregunta del OP: ¿cómo continuar?
• respuestas existentes: empezar de nuevo con pasos más sencillos

Así que siento la necesidad de responder a la original pregunta.

\begin{align} \int \frac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} dx &=\frac {1}{2} \int (\tan (\frac {x}{2}) +1)^2 dx \\ &= \frac12 \int (\tan^2(\frac x2)+1) dx + \int \tan(\frac x2) dx \\ &= \frac12 \int \sec^2(\frac x2) dx + \int \tan(\frac x2) dx \\ &= \tan(\frac x2) + 2\ln|\sec \frac x2| + C \end{align}

Answer 5

Aquí hay otro truco

$$ \begin{align} I&=\int \dfrac {1+\sin (x)}{1+\cos (x)} dx\\ &=\int \dfrac {1+ \sin(0)+\sin (x)}{\cos(0)+\cos (x)} dx\\ &=\int \dfrac {1+ 2\sin(x/2)\cos (x/2)}{2\cos^2(x/2)}dx\\ &=\int \dfrac {1}{2\cos^2(x/2)}dx+\int \dfrac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}dx\\ &=\int \dfrac {1}{2\cos^2(x/2)}dx+\int {\tan(x/2)}dx\\ I&=\tan(x/2)-2\ln|\cos(x/2)|+K \end{align} $$