Operadores acotados con rango prescrito

Question

Si $X$ es un seaparable espacio de Banach y $Y$ es un subespacio de $X$, no necesariamente cerrado, se puede encontrar siempre un delimitada operador con rango de $Y$? Es fácil cuando se $Y$ es cerrado y se complementa, ¿y si no?

Edit 1: he modificado la pregunta agregar que $X$ es separable. Parece que el caso general es abierto.

http://mathoverflow.net/questions/101253/surjectivity-of-operators-on-linfty

Edit 2: Si $Y$ no está cerrado, Jonas Meyer respuesta a continuación muestra que la respuesta es 'No'. ¿Qué pasa cuando se $Y$ está cerrado?

Edit 3: seguimiento de la pregunta se ha publicado sobre el caso al $Y$ se cierra: Limitada a los operadores de rango prescrito - parte II

Answer 1

En la parte 3 de t.b.'s respuesta aquí se demuestra que si un operador acotado entre espacios de Banach ha finito codimensional rango, entonces se ha cerrado gama. Si $Y$ es el núcleo de una desenfrenada lineal funcional $X\to\mathbb C$, $Y$ ha finito codimension pero no está cerrado, por lo tanto $Y$ no es el alcance de un operador acotado.

Este es generalizada en "Algebraica complementa y rangos de operadores lineales" por Enflo y Smith, 2011, donde el principal resultado se expresa como sigue:

Deje $B$ ser un infinito-dimensional espacio de Banach y deje $C$ ser no vacío, cerrado subespacio de $B$ algebraicas cuyo complemento, $N$, no es cerrado. A continuación, $N$ no es el alcance de un operador lineal continuo en un espacio de Banach.