Suma de discretos y continuos variables aleatorias con distribución uniforme

Question

¿Podría decirme cómo encontrar la distribución de los $Z = X+Y$ $X$ es una variable aleatoria con distribución uniforme en $[0,1]$ y $Y$ tiene distribución uniforme en ${-1,0,1}$?

$X$ y $Y$ son independientes.

Sé cómo encontrar distribuciones de sumas de variables aleatorias si ambos son discretas o ambos son continuos. Pero aquí tenemos una mezcla.

Supongo que debo tener en cuenta $P(Z

$P(Z \in [-1,0)) = P(X \in [-1,0), Y=0 \ \text{or} \ X \in [0,1), Y=-1 \ \text{or} \ X \in [-2, -1), Y=1) = \frac{1}{3}$

$P(Z \in [0,1)) = P(X \in [0,1), Y=0 \ \text{or} \ X \in [1,2), Y=-1 \ \text{or} \ X \in [-1, 0), Y=1) = \frac{2}{3}$

$P(Z \in [1,2)) = P(X \in [1,2), Y=0 \ \text{or} \ X \in [2,3), Y=-1 \ \text{or} \ X \in [0, 1), Y=1) = 1$

Y así $P(Z \ge 1) = 1$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Usted puede extender el método de convolución para sumar variables continuas independientes si se identifica a la "densidad" de una variable discreta como una suma de deltas de Dirac. Aquí usted encuentra que la densidad de $X$$1_{[0,1]}$, mientras que la "densidad" de $Y$$\frac{1}{3} \sum_{i=-1}^1 \delta_i$. Así que ahora se necesita para calcular la convolución:

$$g(x) = \frac{1}{3} \sum_{i=-1}^1 \int_{-\infty}^\infty \delta_i(y) 1_{[0,1]}(x-y) dy \\ = \frac{1}{3} \sum_{i=-1}^1 \int_{x-1}^x \delta_i(y) dy$$

Por la definición de la delta de Dirac, la $i$th sumando es $1$ si $i \in (x-1,x)$ y cero en caso contrario. Así que exactamente uno sumando se $1$ si y sólo si $x \in (-1,2)$, por lo que la densidad de aquí es $\frac{1}{3} 1_{(-1,2)}$.

En este caso es casi lo mismo que la otra respuesta; este método es más bonito en la más complicada de ejemplos.

Answer 2

Aviso, que eventos el $Z \in [-1,0)$, $Z \in [0,1)$% y $Z \in [1,2)$ tienen intersección vacía. Pero el acuerdo con su solución: $$P(Z \in [-1,0)) + P(Z \in [0,1)) + P(Z \in [1,2)) > 1$ $, que claramente no podría ser correcta.

Así permite contar, las probabilidades deseadas una vez más, con el hecho de que X, Y son independientes:\begin{align} P(Z \in [-1,0)) &= P(X \in [0,1))P(Y=-1) = 1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}, \ P(Z \in [0,1)) &= P(X \in [0,1))P(Y=0) + P(X = 1)P(Y=-1) = 1\times\frac{1}{3} + 0\times\frac{1}{3} = \frac{1}{3}, \ P(Z \in [1,2)) &= P(X \in [0,1))P(Y=1) + P(X = 1)P(Y=0) = 1\times\frac{1}{3} + 0.\times\frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \end {Alinee el} por supuesto $P(Z