Mi pregunta surge del estudio de las posibles extensiones de Teorema de Rademacher al espacio de Sobolev $W^{1,p}(\Omega)$ con $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ . En concreto estoy estudiando la prueba de que cualquier elemento de $W^{1,p}(\Omega)$ es diferenciable en casi todas partes si $p>n$ .
Un resultado clave en la prueba es que cualquier elemento en $W^{1,p}(\Omega)$ , si $p>n$ tiene un representante continuo. Lamentablemente no he encontrado ninguna referencia para este resultado.
Además, mirando Página de Wikipedia sobre las desigualdades de Sobolev Descubrí que en mi configuración (que es parte del caso general $k<\frac{p}{n}$ ) cada elemento de $W^{1,p}(\Omega)$ , si $p>n$ , debería ser un El titular es continuo función.
Me desconcierta eso, porque siempre he pensado en el elemento de un espacio de Sobolev como clase de funciones, y me parece poco realista que cualquier elemento de cualquier clase de esos espacios de Sobolev sea continuo de Holder (lo que, si no me equivoco, se afirma como una propiedad que se cumple en todas partes).
Así que mis preguntas son: 1) ¿Tienes una referencia que explique por qué cualquier clase de funciones en $W^{1,p}(\Omega)$ (para $p>n$ ) tiene un representante continuo? 2) ¿Es correcto el resultado expuesto por Wikipedia sobre la continuidad de Holder? Si la respuesta es afirmativa, ¿en qué me equivoco al pensar en las funciones de Sobolev?
Muchas gracias por su tiempo.
