Permita que$A$ sea un conjunto contable y$B$ cualquier conjunto incontable con el mismo infinito que$\mathbb{R}$. Entonces debemos tener un mapa de uno a uno$\phi:A\rightarrow\mathbb{Q}$. Entonces, ¿podemos decir con esto que$A$ es de hecho denso en$B$, ya que es bien sabido que$\mathbb{Q}$ es denso en$\mathbb{R}$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
DanV
Puntos
281
La densidad requiere una noción de topología.
Sin especificar la topología en el conjunto$B$, no puede decidir si$A$ es denso o no.
Por ejemplo, si tomamos un conjunto del mismo tamaño que$\mathbb R$ y consideramos la topología co finita, es decir, los conjuntos abiertos son aquellos cuyo complemento es finito. En dicha topología, cada conjunto infinitamente contable es denso.
En términos generales, sin embargo, no es válido para todas las topologías, como demuestran las otras respuestas.
No.
$\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ tienen la misma cardinalidad, pero uno es denso en $\mathbb{R}$ y el otro no.
Agregó también quería decir que la "densidad" de un subconjunto no es una medida de cuántos puntos hay en el subconjunto, es una medida de cómo están distribuidos de manera uniforme en todo el superconjunto y lo cerca que llegar a los puntos de la superconjunto. En la topología usual en $\mathbb{R}$, cada punto de $\mathbb{R}$ es abordado por los puntos de $\mathbb{Q}$, pero no puede acercarse a todos los puntos de $\mathbb{R}$ con puntos de $\mathbb{Z}$. Las brechas en $\mathbb{Z}$ simplemente son demasiado grandes.
En las otras respuestas se puede leer que "topología" determina cuando el subconjunto se extiende lo suficiente como para que "se acerca" a cada punto de la superconjunto.
user27515
Puntos
214
Tenga en cuenta que uno puede ir al extremo casi opuesto al igual que en ejemplo de Asaf y considerar $\mathbb{R}$ con la topología discreta, para que todos los subconjuntos son abiertos.
Entonces el sólo densa en este espacio topológico es el entero conjunto de $\mathbb{R}$ sí mismo. (Así, en particular, ningún subconjunto contable es denso).
Shery
Puntos
16
