Encuentre un grupo abeliano infinito tal que cada subgrupo propio sea finito

Question

Encontré esta pregunta en el libro de Arhangel'skii y Tkachenko Grupos topológicos y estructuras afines . El primer capítulo del libro está dedicado a los preliminares algebraicos.

La pregunta en realidad dice:

Pon un ejemplo de grupo abeliano infinito cuyos subgrupos propios sean finitos.

Lo que he hecho es: Cada elemento de este grupo tiene orden finito, de lo contrario podríamos encontrar un subgrupo propio infinito, a saber, el grupo generado por $x²$ si $x$ tiene un orden infinito.

Creo que esto se puede reforzar: cada elemento debe tener un orden primo. Aunque esto no lo he demostrado.

Intuitivamente este grupo no puede ser un producto infinito de grupos más pequeños, porque se podría tomar el producto de los factores pares del grupo y encontrar un subgrupo propio infinito.

Bueno, esto es, un problema altamente no trivial. Gracias de antemano.

Answer 1

Consideremos el conjunto de todos los $2^n$ -raíces de la unidad, como $n$ abarca los números enteros no negativos. Un subgrupo infinito incluye elementos de orden arbitrariamente alto, que generan todo lo que está por debajo de ellos.

Answer 2

De forma más general, se puede demostrar que los grupos abelianos cuyos subgrupos propios son finitos son precisamente los Grupos Prüfer $\mathbb{Z}[p^{\infty}]$ .

(Mencionado en el libro de Kaplansky, Grupos abelianos infinitos ejercicio 23.)