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Question

Estoy atascado en calcular la suma de

\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k! (2k+1)} \frac{1}{(n-k)!} \end{align*}

Intenté algunas manipulaciones que incluyen

\begin{align*} \frac{1}{n!} \binom{n}{k} = \frac{1}{k! (n-k)!} \end{align*}

pero aún ese$2k+1$ en el denominador complica las cosas. Por cierto, wolframalpha dice que

\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k! (2k+1)} \frac{1}{(n-k)!} = \frac{\sqrt{\pi}}{2(n+\frac{1}{2})!} \end{align*}

para $n\geq 1$.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Comience con el teorema binomial:$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^n=(x+1)^n$ $ Sustituir$x=y^2$:$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}y^{2k}=(y^2+1)^n$ $ Integrar ambos lados:$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{y^{2k+1}}{2k+1}=\int_0^y(t^2+1)^ndt$ $ Divide entre $n!$%:$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{y^{2k+1}}{2k+1}=\frac{1}{n!}\int_0^y(t^2+1)^ndt$ $ Deje$y=i$:$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{i(-1)^k}{2k+1}=\frac{1}{n!}\int_0^i(t^2+1)^ndt$ $$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{i(-1)^k}{2k+1}=\frac{1}{n!}\int_0^1 i(1-t^2)^ndt$ $$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{1}{2 n!}\int_0^1 t^{-1/2}(1-t)^ndt$ $ Usar la función Beta de Euler:$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{1}{2 n!}\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(1/2)}{\Gamma(n+3/2)}$ $$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{1}{2 n!}\frac{n!2^{n+1}}{(2n+1)!!}$ $$$\color{green}{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{2^{n}}{(2n+1)!!}}$ $

Answer 2

Uso\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} x^{2k} dx =\frac{1}{2k+1}. \end{eqnarray } intercambiar el orden de la integral y ciruela\begin{eqnarray} \sum{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1) k! (n-k)!} &=& \frac{1}{n!} \int{0}^{1} \sum{k=0}^{n}x^{2k} \binom{n}{k} \ &=& \frac{1}{n!} \int{0}^{1} (1-x^2)^n dx \ \end{eqnarray } es bien sabido que\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} (1-x^{2})^n dx =\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. \end{eqnarray } sustituyendo esto da\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1) k! (n-k)!} = \color{red}{\frac{2^{2n} n! }{(2n+1)!}}. \end{eqnarray }

Answer 3

Se puede considerar la generación de función $\displaystyle f(x)=e^{x^2}\int^x0e^{-t^2}\,dt$ (que fue su comienzo, ¿no?) y obtener la ecuación diferencial $$f'(x)=2\,x\,f(x)+1.$$ The ansatz $$f(x)=\sum^\infty{n=0}a_n\,x^n$$ gives $ a_0 = f (0) = 0 $, $ a1 = f'(0) a{2k1}=\frac{2^k}{(2k+1) de =0$ and $\displaystyle de =+1$n\,an=2\,a{n-2}$$ for $$. This means $n\ge2$ and $a_ {2 k}!} $ for $k\ge0$.