Mientras jugaba con los campos ciclotómicos, comencé a preguntarme acerca de tomar las raíces de la unidad en análogos dimensionales superiores del plano complejo. ¿Están las raíces de la unidad bien definidas en los cuaterniones, octoniones y otras álgebras hipercomplejas? ¿Hay campos ciclotómicos dimensionales superiores y, de ser así, tienen propiedades interesantes como factorización única o morfismos interesantes?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Son las raíces de la unidad bien definida en los cuaterniones, octonions, y otros hypercomplex álgebras?
Aún así, pueden ser definidos como elementos de satisfacciones $x^n=1$ para un entero no negativo $n$. (No estoy seguro de qué otra definición podría usar... )
Por supuesto, eso no significa que ellos se comportan tan bien como las raíces de la unidad en el plano complejo. Voy a utilizar los cuaterniones $\Bbb H$ a ilustrar.
Por un lado, hay una cantidad no numerable de $n$th raíces de la unidad. En el plano complejo, $(\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n))^n=1$ debido a de Moivre de la identidad. Resulta que en esta fórmula se puede reemplazar $i$ con cuaterniones $u$ que tiene cero la parte real y la que satisface $u^2=-1$, y hay una cantidad no numerable de opciones para un $u$. Básicamente, cada una selección de $u$ selecciona una copia de $\Bbb C$ sentado dentro de $\Bbb H$.
Hay más dimensiones cyclotomic campos, y si es así, ¿tienen interesantes propiedades como la única factorización o interesante morfismos?
Por "dimensiones superiores" y la primera pregunta, parece que quiere hacer algo como adhieren a las raíces de la unidad a $\Bbb H$, o algo de mayor extensión. Por supuesto, dicha extensión no sería un campo , ya que sería perder conmutatividad, (y también la asociatividad si has probado el octonions.)
Perder conmutatividad obligaría a repensar lo que quería de factorizations. No es posible libremente reorganizar el orden de los factores, por ejemplo.
