$x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 0$

Question

Determinar todas las posibilidades racionales de las raíces del polinomio $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 0$. A continuación, determinar cómo muchas de las raíces reales del polinomio puede ser positivo y cuántos puede ser negativo. Factor del polinomio para confirmar sus resultados.

La respuesta es posible racional raíces: $+-1$; el número de raíces reales positivas: cuatro o de dos o cero, negativo: cero; las raíces: $x = 1, 1, 1, 1$ (un cuádruple raíz).

El uso racional de la raíz teorema, usted tiene que dividir los factores de la constante, $1$, por los factores del coeficiente de plomo, también 1. Que paso que da sólo dos posibilidades diferentes para la racional raíces: $1$$-1$.

Los signos de cambio de cuatro veces en el polinomio original, indicando $4$ o $2$ o $0$ real positivo raíces. La sustitución de cada una de las $x$$-x$, consigue $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0$. Los signos que nunca cambian. El polinomio es el cuarto poder de la binomial $(x - 1)$, por lo que los factores en $(x - 1)^4 = 0$, y las raíces se $1, 1, 1, 1$. Hay cuatro positivo de las raíces (todos el mismo número, por supuesto).

Puede alguien explicar, la factorización del polinomio? No entiendo, cómo es que los factores en $(x - 1)^4$.

Answer 1

Dos maneras:

En primer lugar, mirar los coeficientes: $1, 4, 6, 4, 1$ alternando signos. Si conoces el teorema del binomio, se puede fácilmente asociar esto a la expansión de $(x-1)^4$. Tienes que ser bastante maldito inteligente.

En segundo lugar, sólo encontrará las raíces a través de la división sintética. Verás que tendrás $x=1$ como la única raíz con multiplicidad $4$. Esto corresponde a lo factores $(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)$.

Incluso puede comprobar que $(x-1)^4$ rendimientos de la expansión anterior multiplicando.

Answer 2

Usted puede como factor

$$x^{ 4 }-4x^{ 3 }+6x^{ 2 }-4x+1={ x }^{ 4 }-2{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-2{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 2 }-2x+{ x }^{ 2 }-2x+1={ x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) -2x\left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) +{ x }^{ 2 }-2x+1=\ =\left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) ={ \left( x-1 \right) }^{ 2 }{ \left( x-1 \right) }^{ 2 }={ \left( x-1 \right) }^{ 4 }\ $$

Answer 3

El Teorema de la raíz racional te dice que cualquier raíz racional $\frac{p}{q}$ tendrá $p\mid 1$ y $q \mid 1$ para $\frac{p}{q} = \pm 1$, entonces puede verificar que sólo $x=1$ es una raíz y hacer.

Answer 4

Sabiendo que x=1 es una solución sabemos que $(x-1) $ es un factor para que nos de la fuerza para el factor a cabo.

$x^4-4x^3+6x^2-4x+1=$

$(x-1)x^3-3x^3 +6x^2-4x+1=$

$(x-1)x^3-(x-1)3x^2+3x^2-4x+1=$

$(x-1)x^3-(x-1)3x^2 +(x-1)3x -x +1=$

$(x-1)x^3-(x-1)3x^2+(x-1)3x-(x-1)=$

$(x-1)[x^3-3x^2+3x-1]=$

Ahora, no sabemos que 1 es un doble al root. Pero si $x=1$$x^3-3x^2+3x-1=0$, por lo que nos hacen saber que $x-1$ será un factor nuevo. Así que fuerza .

$(x-1)[(x-1)x^2-2x^2+3x-1]=$

$(x-1)[(x-1)x^2-(x-1)2x+x-1]=$

$(x-1)[(x-1)x^2-(x-1)2x+(x-1)]=$

$(x-1)(x-1)[x^2-2x+1]=$

Yo voy a pretender que no es obvio en este punto.

Probamos $x =1$$x^2-2x+1=0$, por lo que sabemos $(x-1) $ debe tener una tercera vez. Nos obligan a salir, pero en este punto debe verse como algo muy en claro.

$(x-1)^2 [(x-1)x-x+1]=$

$(x-1)^2 [(x-1)x-(x-1)]=$

$(x-1)^2 (x-1)[x-1]=$

$(x-1)^4$

Answer 5

Otra forma de $$x^2\left(x^2-4x+6-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=0$$ $x=0$ no es una solución de esta ecuación, por lo tanto el $$x^2-4x+6-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0$ $ que tiene $$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$ $ $t=x+\frac{1}{x}$, así $$t^2-4t+4=(t-2)^2=0$ $ ahí $$t=x+\frac{1}{x}=2$ $ $x=1$