El discreto de la ecuación de Schrödinger para dos la interacción de los electrones en los 1D bajo un campo eléctrico lee $$ E\psi_{mn}=[(m+n)F+U\delta_{mn}]\psi_{mn}-\psi_{m+1,n}-\psi_{m-1,n} -\psi_{m,n+1}-\psi_{m,n-1}\ . $$ Desde funciones de Bessel resolver los electrones problema [ver,por ejemplo, Eur. J. Phys. 31 (2010) 639], busqué una solución para los dos electrones problema de la forma $$ \psi_{mn}=\sum_{pq}C_{pq}J_{m-p}(x)J_{n-q}(x)\ , \qquad x=2/F\ . $$ Insertar el ansatz en la ecuación de Schrödinger se produce una ecuación para los coeficientes $C_{pq}$. Luego encontré el siguiente infinita suma de los productos de funciones de Bessel $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}J_{n}(x)J_{n-k_1}(x)J_{n-k_2}(x)J_{n-k_3}(x) $$ donde $k_i$ ($i=1,2,3$) son enteros arbitrarios. Cualquier oportunidad para acercarse a la expresión de la suma? Gracias!
Respuesta
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De fórmula de Neumann: %#% $ de #% tenemos que: $$ J\nu(x)\,J\mu(x)=\frac{2}{\pi}\int{0}^{\pi/2}J{\nu+\mu}(2x\cos\psi)\cos((\mu-\nu)\psi)\,d\psi$ $ $$ J{n}(x)\,J{n-k1}(x) = \frac{2}{\pi}\int{0}^{\pi/2}J_{2n-k_1}(2x\cos\psi)\cos(k1 \psi)\,d\psi$ $ así: $$ J{n-k2}(x)\,J{n-k3}(x) = \frac{2}{\pi}\int{0}^{\pi/2}J_{2n-k_2-k_3}(2x\cos\psi)\cos((k_3-k_2) \psi)\,d\psi$ $ y sólo necesitamos evaluar: $$Jn(x)\,J{n-k1}(x)\,J{n-k2}(x)\,J{n-k3}(x)\=\frac{4}{\pi^2}\iint{(0,\pi/2)^2}J_{2n-k1}(2x\cos\psi)J{2n-k_2-k_3}(2x\cos\phi)\cos(k_1\psi)\cos((k_2-k3)\phi)\,d\psi\,d\phi$ $ a través de: $$ \sum{n\in\mathbb{Z}}J_{2n-k1}(u)\,J{2n-(k_2+k3)}(v) $ $ entonces integrar $$ e^{i z\cos\theta} = \sum{n\in\mathbb{Z}} i^n J_n(z)\, e^{ni\theta}.$. Continúa.
