Volumen en espacio dimensional cero

Question

Supongamos $A\subset \mathbb{R}^n$ es un compacto, convexo y de forma centralizada simétrica conjunto tal que $(x_1,\ldots,x_n)\in A$ si $$ |x_1|+\ldots+|x_r|+2\left(\sqrt{x_{r+1}^2 + x_{r+2}^2} + \ldots + \sqrt{x_{n-1}^2 + x_{n}^2}\right) \leq n$$

Si $n=r+2s$, quiero demostrar que (medida de Lebesgue) $$ \mathrm{vol}(A) = \frac{n^n}{n!}2^r \left(\frac{\pi}{2}\right)^s$$

Para probar esto, supuse que $V_{r,s}(t)$ el valor del volumen del subconjunto $\mathbb{R}^{r+2s}$ definido por $$|x_1|+\ldots+|x_r|+2\left(\sqrt{x_{r+1}^2 + x_{r+2}^2} + \ldots + \sqrt{x_{r+2s-1}^2 + x_{r+2s}^2}\right) \leq t$$

Por lo tanto, $$V_{r,s}(t) = t^{r+2s}V_{r,s}(1)$$ He demostrado hasta ahora que (después de esta):

$$V_{r,s}(1) =\frac{1}{n!}2^r \left(\frac{\pi}{2}\right)^sV_{0,0}(1)$$

Pero, para concluir mi prueba me debe demostrar que

$$V_{0,0}(1)=1$$

Entonces, la pregunta es :

Por qué $V_{0,0}=1$?

Answer 1

Hay diferentes maneras de definir el volumen. Me gustaría suponer que las fórmulas son válidas sólo para la dimensión positiva, pero tienen un convenio de dimensión cero.

Una búsqueda rápida de Marcus Número de Campos se encuentra un pdf del texto. La fórmula $V_{r,s}(1)=\frac{1}{(r+2s)!}2^r \left(\frac{\pi}{2}\right)^s$ (que está siendo probado en el texto) da $V_{0,0}(1)=1.$ Intuitivamente, el autor se está considerando sólo $n>0$ en la prueba y de llamar la atención el hecho de que $V_{0,0}(1)=1$ es la manera natural de extender a la dimensión cero.

La pregunta es:

Cómo es $V_{0,0}(1)$ definido?

A mí esto me parece implicar que se trata de una definición y no algo para ser probado.

Considere la posibilidad de una $n$-dimensiones del rectángulo en $\mathbb R^n:$ $B_n=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n].$ Suponiendo que hemos estándar $n$-dimensional de la medida de Lebesgue, el volumen de esta caja es $\displaystyle \text{Vol}(B_n)=\prod_{k=1}^n\mu([a_k,b_k]).$

Si $n=0$, entonces la fórmula se convierte en $\text{Vol}(B_0)=\displaystyle \prod_{k\in\emptyset}\mu([a_k,b_k])=1.$ Desde un vacío de producto es, por convención, $1$ desde $1$ es la identidad de la multiplicación. De igual modo, un vacío suma es$0$, ya que es la identidad aditiva.

La dimensión de Hausdorff de una contables conjunto es cero. Considerar el origen como un cero dimensiones espacio/set. ¿Cómo vamos a definir su volumen? Vamos a considerar como un subconjunto de a $\mathbb R^n$ algunos $n>0$, a continuación, cubierta por una bola de radio $\epsilon$, de modo que la cubierta tiene un volumen proporcional a $\epsilon^n.$ Obviamente podemos hacer $\epsilon$ tan pequeño como nos gusta por lo que tiene volumen cero. Sin embargo, como nos vamos a $n$ de reducción a cero, entonces se $\epsilon^0=1$ cualquier $\epsilon>0.$ por lo tanto en la dimensión cero, cada pelota que cubre el origen tendrá un valor distinto de cero volumen.

Esto puede sentir contra intuitivo, pero aún los lazos de la espalda a la idea de que el vacío de un producto le da la identidad multiplicativa.