¿Cómo puedo mostrar que $S^1$ es homeomórfico a $[0, 1]/ \{0, 1\}.$
Estoy aprendiendo topología de cociente del libro de K.D.Joshi "Introducción a la TOPOLOGÍA GENERAL". Donde mencionó eso,
"Dejar $f: X \to Y$ ser una función suprema. Entonces $f$ determina una relación de equivalencia $R$ en $X$ definido por $x R y$ iff $f(x) = f(y)$ . Las clases de equivalencia de $R$ son precisamente las imágenes inversas de subconjuntos de singleton de $Y$ . Ahora deja $D$ ser la colección de todas las clases de equivalencia en $R$ . $D$ se llama el conjunto de cociente de $X$ por $R$ y también se denota por $X/R$ .
Hay una función canónica $p : X \to X/R$ llamada la proyección que asigna a cada uno $x \in X$ su clase de equivalencia en $R$ . La función $ \theta : Y \to X/R$ definido por $ \theta (y) = p(x)$ para cualquier $x \in f^{-1}(y)$ es obviamente un bien definido bijección.
Supongamos ahora que $X, Y$ son espacios topológicos y que $f$ es un mapa de cociente. En $X/R$ ponemos la fuerte topología generada por la función de proyección $p$ . La función $ \theta $ entonces se convierte en continuo como su compuesto con $f$ es decir.., $ \theta\circ f$ es continua. Del mismo modo, $ \theta ^{-1}$ es continua. Así, $ \theta $ no es sólo una bendición, sino un homeomorfismo. Así, hasta una equivalencia topológica, podemos identificar el espacio de cociente $Y$ con el espacio del cociente $X/R$ y el mapa de cociente $f$ con la proyección $p$ .
$S^1$ es homeomórfico al espacio de cociente de $[0, 1]$ obtenido de la
descomposición $D$ cuyos miembros son ${0, 1}$ y todos los juegos de un solo botón $\{x\}$ para $0 < x < 1$ .
Por sus anotaciones ¿Cómo puedo encontrar $f$ y $ \theta $ . ¿Alguien puede ayudarme, por favor? Por favor, explíqueme detalladamente ya que soy muy nuevo en el tema y no tengo ningún profesor del que aprender. Gracias.
