$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n (n+1) (n+2)}$ Entender la representación

Question

$$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n (n+1) (n+2)}$$=$$\frac{1}{2} \left(-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}\right)$$

$$s_n=\frac{1}{2} \left(\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}\right)+\ldots +\left(1 \frac{1}{1}-\frac{2}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{1}{8}\right)\right)$$

Im sorry por no ser capaz de obtener el término en el orden correcto, pero como usted puede ver, los dos primeros términos en el paréntesis debe ser el último para una representación exacta.

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1-1+\frac{1}{3} \\ 2 & \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} \\ 3 & \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \\ 4 & \frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7} \\ 6 & \frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{1}{8} \\ \end{array} \right)$$

Creo que mi pura comprensión de la representación es lo que me hace confuso. A partir de la tabla veo que un patrón en los denominadores emerger, cuando n=1, entonces (1-2+3), cuando n=2, entonces, 2-3+4. Sin embargo, dado el parte de sn donde: $$\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}$ $ no puedo ver cómo la primera parte de la expresión de la derecha de arriba no es indefinida cuando n=1.

Estoy convencido de que es mi falta de conocimiento de lo que la representación de la realidad significa. Y también estoy luchando para ver lo que se cancela a dar$$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\right)$$

Sin embargo, dado que esto es cierto yo soy capaz de entender que la respuesta es (1/4). Pero como ya he dicho es la representación que yo no entiendo. Podría alguien ayudarme ya que esto sería muy útil para mi próximo capítulo en mi libro de texto!

Answer 1

Consejo: Estamos encontrando %#% $ #%

Answer 2

El diagrama es perfecto. Todos estos cancelación... Es una suma telescópica

Answer 3

Usted debe escribir: (definir $s_n$ como la secuencia de sumas parciales de la serie)

$s_n=\sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k (k+1) (k+2)}$ $=\sum _{k=1}^{n} {\frac{1}{2} \left(-\frac{2}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k}\right)}$

$=\frac{1}{2}\left(-2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)$ porque las cantidades son limitadas. Observar entonces que las tres sumas de superposición en la mayoría de los términos.

$=\frac{1}{2}\left(-2\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\sum_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)$ sólo por la reescritura de la suma.

$=\frac{1}{2}\left(\left(-2\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-2\cdot\frac{1}{2}-2\frac{1}{n+1}\right)+\left(\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)+\left(\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)\right)$ sólo por la reescritura de la suma de nuevo.

$=\frac{1}{2}\left(-2\cdot\frac{1}{2}-2\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)$ por la cancelación de términos.

$=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2}\right)$ por la cancelación de términos.

Entonces, sólo que ahora, se puede considerar la posibilidad de tomar el límite de $n\to\infty$.

Tal vez no son la comprensión de las $\sum$ operador.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ es exactamente $\frac{1}{\underline{1}(\underline{1}+1)(\underline{1}+2)}+\frac{1}{\underline{2}(\underline{2}+1)(\underline{2}+2)}+\dots+\frac{1}{\underline{n}(\underline{n}+1)(\underline{n}+2)}$ por definición.

Y $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ es exactamente $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ por definición.

Más Ejemplos

$$\sum_{k=1}^n a_{k+1}=a_2+a_3+\dots+a_{n+1}=\sum_{k=2}^{n+1} a_k \quad (Eq1)$$

En general, se $\sum_{x\in S} f(x)$, lo que significa "tomar todos los valores distintos en un conjunto finito $S$, se aplican $f$ a cada uno de ellos, y la suma de los resultados". Nota: los resultados no pueden ser distintos.

Ahora podemos escribir $\sum_{k=1}^n f(k)=\sum_{k\in\mathbb{Z}\cap[1,n]} f(k)$.

Si $g$ es una función inyectiva de a $S$ (entradas distintas dar distintos resultados), entonces $$\sum_{x\in S} f(x)=\sum_{y\in g(S)} f(g^{-1}(y))\quad\text{, also}\quad\sum_{x\in S} f(g(x))=\sum_{y\in g(S)} f(y)$$ donde $g(S)$ son todas las salidas de $g$ entradas en $S$, e $g^{-1}$ es la función que toma como entrada una salida de $g$ y devuelve la entrada que dio que la salida (esto es la función inversa).

Así, en (Eq1), estamos llevando $g$$k\mapsto k+1$, e $S=\mathbb{Z}\cap[1,n]$. Por lo tanto $g(S)=\mathbb{Z}\cap[2,n+1]$.

Por supuesto, usted tiene la regla distributiva: $\sum_{x\in S}af(x)=a\sum_{x\in S}f(x)$ (uso de la inducción).

Answer 4

$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{2n(n+1)} - \dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}$

por lo tanto,

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{212} = \dfrac{1}{4}$$

Utilizamos el telescópico % fórmula serie $\sum{n=1}^\infty (f(n) - f(n+1)) = f(1) - \lim{n \to \infty} f(n)$