Condiciones de singularidad de la mediana

Question

Una mediana de una variable aleatoria se define como cualquier $m \in \mathbb{R}$ tal que

$P(X \le m) \ge 1/2$ $P(X \ge m) \ge 1/2$ .

Alternativamente, en los términos de la CDF $F$ $X$ definido por $F(x) := P(X \le x)$, necesitamos

$F(m) \ge 1/2$ $F(m^-) \le 1/2$ , donde el último es el de la izquierda límite de$F$$m$.

Bajo qué condiciones es la mediana único? Parece que, o bien

• debe haber un punto de $m$ $F(m) = 1/2$ de manera tal que la CDF es continua y inceasing en un barrio de $m$,
• o debe haber un punto de $m$ donde $F(m-) < 1/2$ $F(m) = 1/2$ $F$ es el aumento en $[m,m+\epsilon)$ para algunos pequeños $\epsilon > 0$,
• o debe haber un punto de $m$ donde$F(m-) < 1/2$$F(m) > 1/2$.

Son estas todas las posibilidades?

Answer 1

Las siguientes condiciones de garantía de la exsitence de un único mediana

$1.$ CDF de la variable aleatoria $X$ es continua.

$2.$ CDF de la variable aleatoria $X$ es estrictamente creciente.

Vamos $$a(m)=\int_{-\infty}^{m}f_X(x)\mathrm{d}x,\quad \mathcal{A}=\{m:a(m)\geq 1/2\}$$ and $$b(m)=\int_{m}^{\infty}f_X(x)\mathrm{d}x,\quad \mathcal{B}=\{m:b(m)\geq 1/2\}$$

Si $a(m^*)=1/2$ algunos $m^*$, $a(m)\geq 1/2$ $m\geq m^*$ porque $a$ es una función creciente.

Simlarly, si $b(m^{**})=1/2$ algunos $m^{**}$, $b(m^{**})\geq 1/2$ $m\leq m^{**}$ porque $b$ es una función decreciente.

Por lo tanto, $$m^{**}\geq m\geq m^*\quad\quad (1)$$

También sabemos lo $b(m)=1-a(m)\forall m$. Suponga $m=m^{**}$. Entonces $$1/2=b(m^{**})=1-a(m^{**})=1-a(m^{*})$$ which implies $$a(m^{*})=b(m^{**})=1/2$$ Since both $un$ and $b$ are continuos. They intersect only at a single point at the co-domain of the CDF (even if the functions are non-increasing, non-decreasing type). If $$ and $b$ are strictly increasing (decreasing resp.) functions, then the domain of intersection is also a single point, which is $m^*=m^{**}$. With this result Equation $1$ es también un único punto y hemos terminado.

Answer 2

Para absolutamente continua radom variables que siempre tiene un único medio. De hecho, vamos a $F$ denota la función de distribución de una variable aleatoria continua $X$, e $f$ su función de densidad. Tenemos $$F(x) = \int_{-\infty}^x f(y)dy.$$ La mediana es dada por el valor de $x^\ast$ tal que $$F(x^\ast)=1/2.$$

Definte la función de $G(x) := F(x) - 1/2$. Tenemos (por las Propiedades de las funciones de distribución) $$\lim_{x\to -\infty} G(x) = -1/2, \, \mbox{and} \, \lim_{x\to \infty}G(x) = 1/2$$ por lo tanto, por el teorema de Bolzano (también conocido como teorema del valor Intermedio) hay un valor de $x^\ast \in (-\infty,\infty)$ tal que $G(x^\ast)=0$, por lo tanto $x^\ast$ es una mediana. Es única, ya que $$G'(x) = F'(x) = f(x)\geq 0.$$

Answer 3

Hubiera pensado que necesita un $m$ tal que % $ $$\left(\tfrac12-F(m-\delta)\right)\left(F(m+\delta)-\tfrac12\right)\gt 0 \text{ for all } \delta \gt 0$

Se podría dividir esto en cualquiera de

1. $F(m)=\tfrac12$ y $F(x)$ está aumentando terminantemente a $x=m$
2. $F(m) \gt \tfrac12$ y $F(x)\lt \tfrac12$ % todo $x \lt m$

tal vez partir (2) en

1. $F(m) \gt \tfrac12$ y $\displaystyle \lim_{x\nearrow \,m-} F(x)\lt \tfrac12$
2. $F(m) \gt \tfrac12$ y $\displaystyle \lim_{x\nearrow \,m-} F(x)= \tfrac12$ y $F(x)\lt \tfrac12$ % todo $x \lt m$

Answer 4

De las definiciones

$$P(X \le m) \ge \frac12 \land P(X \ge m) \ge \frac12,$ $ $$F(x) := P(X \le x),$ $ inferimos % $ $$F(m)\ge \frac12\land 1-F(m)+P(X=m)\ge\frac12,$por lo tanto, $$\frac12\le F(m)\le\frac12+P(X=m).$ $ el conjunto de solución es $m\in F^{-1}([\frac12,\frac12+P(X=m)])$.

Para distribuciones continuas, $F^{-1}(\frac12)$. $F$ debe ser inyectiva la imagen $\frac12$.