Funciones que $\int f(g(x))\, \mathrm dx = f\left(\int g(x) \, dx\right)$

Question

Yo estaba jugando con algunas integrales, y esta pregunta apareció en mi cabeza:

Lo que existen funciones tales que las siguientes es verdadera? $$\int f(g(x))\;\mathrm dx = f\left(\int g(x)\;\mathrm dx\right)$$

No hay el ejemplo obvio de $f(x) = x, \;g(x)=e^x$, pero me preguntaba si los demás existen.
EDIT 1: Como se señaló en los comentarios, esto es cierto para cualquier $g$ si $f(x) = x$. Pero, esta es una especie de trivial--realmente me gustaría saber acerca de otras asignaciones de $f$... :)

Mi pregunta es doble:

1. Hay funciones conocidas que se cumpla esta igualdad?
2. ¿Qué tipo de tema en matemáticas sería este otoño bajo? (por ejemplo, Álgebra Abstracta,/Diferencial de las ecuaciones Integrales, etc.)

EDIT 2:
También me gustaría aceptar una respuesta a una similar, pero ligeramente diferente de la pregunta, tal como estaba formulada en los comentarios por user1551; si es más fácil/más factible respuesta:

Encontrar un par de funciones $f$ $g$ tal que $\int_a^b f(g(x))dx=f\left(\int_a^bg(x)dx\right)$ para cualquier intervalo de $[a,b]$

Answer 1

Me puede reformular el problema de la siguiente manera. Supongamos que tenemos $$\int_0^x f(g(y)) dy = f\left( \int_0^x g(y)dy \right).$$ Tomamos la derivada de cada lado para obtener $$f(g(x))=g(x) f'\left(\int_0^x g(y)dy \right).$$ Suponga $g(x)$ es invertible. A continuación, dejando $z=g(x)$ tenemos $$\frac{f(z)}{z} = f'\left( \int_0^{g^{-1}(z)} g(y) dy \right).$$

Deje $h(z)=\int_0^{g^{-1}(z)} g(y) dy$ ser algunas de función arbitraria. Tenga en cuenta que esto es igual a $h(g(x))=\int_0^x g(y)dy$. Buscamos soluciones a $$\frac{f(z)}{z} =f'(h(z)),\qquad f(0)=0$$ $$h'(z)=z/g'(g^{-1}(z)), \qquad h(g(0))=0.$$ Las condiciones de frontera provienen de conectar $x=0$ en las expresiones apropiadas. Vemos que, independientemente de lo $h(z)$ es, $f(z)=z$ es siempre una solución, como se ha mencionado en los comentarios.

Pasé algún tiempo tratando de encontrar otra solución, pero yo no podía. Sin embargo, si desea modificar el problema original a $$\int_0^x f(g(y)) dy = f\left( \int_{-\infty}^x g(y)dy \right),$$ entonces nuestro nuevo ecuaciones se reducen a $$\frac{f(z)}{z} =f'(h(z)),\qquad f(0)=0$$ $$h'(z)=z/g'(g^{-1}(z)), \qquad h(g(-\infty))=0.$$

Resulta que $f(x)=x^p$ $h(x)=x/p^{p-1}$ satisface la primera ecuación. Entonces si elegimos $g(x)=e^{x p^{p-1}}$, nos encontramos con la segunda ecuación también está satisfecho.

Si realmente nos pidió, por lo $f$ $g$ no existen tales que $\int_{-\infty}^x f(g(y)) dy - f\left( \int_{-\infty}^x g(y)dy \right)$ es constante, entonces el de arriba te da una nueva solución.