¿Son equivalentes el teorema de Tonelli y el de Fubini?

Question

Puedo derivar el teorema de Fubini para integrales iteradas de funciones complejas a partir del teorema de Tonelli para integrales iteradas de funciones sin signo. Me preguntaba si hay una manera de ir hacia atrás. Creo que no, porque el teorema de Fubini supone que las integrales son finitas, mientras que el teorema de Tonelli permite que el valor de la integral sea $+\infty$ . ¿Pero tal vez podamos utilizar un argumento limitador? Aquí es donde no me queda claro.

Entonces: ¿es posible derivar el teorema de Tonelli del teorema de Fubini? Si es así, agradecería una demostración (o un esbozo de demostración).

Answer 1

Si tenemos el teorema de Tonelli, entonces considerando las partes positivas y las partes negativas por separado obtenemos inmediatamente el teorema de Fubini.

A la inversa, asumiendo el teorema de Fubini, el teorema de Tonelli se sigue por el argumento de convergencia monótona aplicado a las funciones de corte $f_k(x) = \min \{k, f(x)\} \chi_{B_k}(x)$ . También puede encontrar los detalles en el capítulo 6.2 del célebre libro de texto Medida e integral por Wheeden y Zygmund .