Subgrupo conmutador de un subgrupo

Question

Supongamos que $H \subset G$ es un subgrupo de índice finito (se supone normal si es necesario). ¿Debe darse el caso de que $[H, H] \subset [G,G]$ es de índice finito? (es decir, el mapa $H^{ab} \rightarrow G^{ab}$ es de núcleo finito)

Answer 1

Tomemos $G = D_{\infty} = \langle r, s : s^2 = 1, srs = r^{-1}\rangle$ y su subgrupo $H = \langle r \rangle$ . Esto debe ser un contraejemplo si no me he vuelto a equivocar.