El valor real de $\phi$

Question

Estaba leyendo sobre la proporción áurea, y vi que Wikipedia, junto con muchos otros sitios más fiables, decía que la proporción áurea era igual a $\frac {\sqrt{5}+1}{2}=1.618033\ldots$ .

Pero cuando se lo pregunté a mis amigos, me dijeron que la proporción áurea era igual a $0.618033\ldots$ o $\phi-1$ .

Estoy confundido en este momento, porque el Internet dice $\phi=1.618\ldots$ pero mis amigos dijeron $0.618\ldots$ . Entonces, ¿cuál es el valor correcto?

Nota: Mis amigos también afirmaron que $\frac {1-0.618\ldots}{0.618\ldots}=0.618\ldots$ . Esto parece muy interesante.

Haciendo algunos cálculos básicos, encuentro que $0.618\ldots=\frac {2}{\sqrt{5}+1}$ . Mientras que $\phi=\frac {\sqrt{5}+1}{2}$ que es el recíproco del otro valor.

Answer 1

Según la Wikipedia:

En matemáticas, dos cantidades están en la proporción áurea si su relación es la misma que la relación de su suma con la más grande de las dos cantidades.

De ahí que necesitemos:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\phi>1$$

$$1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}=\phi>1$$

Aviso

$$\frac{a}{b}=\phi$$

Sustituye esto y resuelve para obtener:

$$\phi=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Pero una de ellas es negativa y como resultado de la definición de la proporción áurea no puede ser la proporción áurea real.

Por lo tanto, si tomamos esta definición, tiene razón.

Además la proporción áurea es una solución a:

$$x^2-x-1=0$$

Dividiendo ambos lados por $x$ que tenemos:

$$x-1-\frac{1}{x}=0$$

Así que no debería sorprender tanto que:

$$\phi-1=\frac{1}{\phi}$$

De dónde:

$$\frac{1-(\phi-1)}{(\phi-1)}=\phi-1$$

Sigue.

Answer 2

Ambos tienen razón según en cómo lo define la fuente.   I normalmente pero lo encuentro como el número más grande.

Y sí, $(1.618033\ldots)^{-1} = (0.618033\ldots)$ es la interesante propiedad de la ración áurea.

$$\begin{align} \phi =&~ \dfrac{\surd 5~+1}{2} \\[2ex] \phi^{-1} =&~\dfrac{2}{(\surd 5+1)}\cdot\dfrac{(\surd 5 -1)}{(\surd 5-1)} \\[1ex] =&~ \dfrac{\surd5~-1}{2} \\[1ex] =&~ \phi-1 \end{align}$$

Answer 3

la definición formal de la proporción áurea es :

la ración de oro $\varphi$ es la solución positiva de $$ x^2=x+1$$ y es $$ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$

y así la otra solución (la negativa) es : $$ -\varphi^{-1}=\frac{-1+\sqrt5}{2}=1-\varphi $$ que explican la confusión

Answer 4

La proporción áurea son dos números cualesquiera no nulos $x$ y $y$ que satisfacen la ecuación $\frac xy=\frac {x+y}{x}$ Definición de la proporción $\phi=\frac xy>0$ la ecuación da: $\phi=1+\frac 1\phi$ . A continuación, se puede multiplicar por $\phi$ para obtener $\phi^2=\phi +1$ o $\phi^2-\phi-1=0$ . Utilizando la fórmula cuadrática se obtiene una solución positiva $\frac {1+\sqrt5}{2}\approx1.618$

Sin embargo, es un cociente, por lo que invertirlo ( $\frac 1\phi=\frac yx\approx 0.618$ ) sólo depende de las dos cantidades que se comparen. En otras palabras, es un cociente de dos cantidades, por lo que ambas son correctas. Sólo depende del orden que se tome. Piensa que te pido que me des la proporción de niños y niñas en un colegio. Podrías darme $\frac{num.boys}{num.girls}$ o $\frac{num.girls}{num.boys}$