combinatoria de lanzamientos de moneda

Question

12 lanzamientos de una moneda no trucada resultado en un resultado de 6 cabezas y 6 colas.

¿Cuántas secuencias de un resultado puede tener a lo sumo 4 sucesivas resultados de un tipo ?

He obtenido lo que yo creo que es la respuesta correcta como 924 - 84 = 840, teniendo en cuenta las diferentes secuencias de ser excluido

(a) 6-6 de un tipo (b) 6-5 de una clase (c) 5-5 de una clase (d) solo uno de los 6 de un tipo (e) solo uno de los 5 de una clase

Sin embargo, esto parece una muy crudo y tedioso método. Estoy en busca de ayuda si esto se puede hacer por medio de la inclusión-exclusión, o por alguna otra mancha.

Answer 1

Aquí hay otra solución. No es muy hábil, pero funciona.

En primer lugar, vamos a encontrar el número de acuerdos con 5 consecutivos o más cabezas. Considere la posibilidad de los ocho símbolos: T, 5T, H,H,H,H,H,H. Estos pueden ser puestos en 8!/6!=56 órdenes distintos. En 14 de estos, los símbolos T y 5T son vecinos. Ahora, por ejemplo, si ampliamos 5T en TTTTT en "5T T HHHHHH" o "T 5T HHHHHH" obtenemos el mismo resultado. La compensación de que, el número de acuerdos con 5 o más consecutivos cabezas es de 42+14/2 = 49. Del mismo modo, el número de acuerdos con 5 o más consecutivos de las colas es de 49.

Cuántos arreglos tanto de 5 consecutivos o más cabezas y 5 o más consecutivos colas? Podemos organizar los cuatro símbolos de 5T,T,5H,H en 24 diferentes maneras.

1. Ocho de estos acuerdos, las cabezas y las colas son separados, por ejemplo, T 5H 5T H. Cada uno de estos cuenta una vez cuando se expande.

2. Ocho de estos acuerdos, ya sea cara o cruz son separados, pero no tanto, por ejemplo, T 5H H 5T. Cada uno de estos cuenta con el doble cuando se expande.

3. Ocho de estos acuerdos, ni los jefes ni colas
   separados, por ejemplo, H 5H 5T T. Cada uno de estos cuenta con cuatro veces cuando se expande.

Por lo tanto, el número de acuerdos con ambos 5 consecutivos o más cabezas y 5 consecutivos o más de las colas es de 8/1+8/2+8/4=14.

Tu respuesta final es 924-49-49+14=840.

Answer 2

He aquí otra manera. Deje $a_n$ el número de secuencias en $n$ lanzamientos de una moneda que hay en la mayoría de 4 consecutivos de resultados de una clase. Entonces por simple conteo de $a_1=2$, $a_2=4$, $a_3=8$, $a_4=16$, y $a_5=30$. Con un poco de pensamiento puede obtener la relación de recurrencia $$a_n=2a_{n-1}-a_{n-5}$$ Now there are two ways you can go. You can just use this recurrence to grind out $a_6=2\times30-2=58$, $a_7=2\times58-4=112$, and so on until you get up to $a_{12}$. O puede utilizar el estándar de técnicas para resolver el (homogéneo, lineal, constante el coeficiente de recurrencia, pero creo que se hace un desorden de este. Bueno, eso es lo que los ordenadores son para!

EDIT: OP ha recordado que el resultado es de 6 cabezas y 6 colas, por lo que la anterior es irrelevante. Así que vamos a hacer de la inclusión-exclusión en su lugar.

Empezamos con $12\choose6$. Restamos todas las formas de disponer de 5 (o más) consecutivos cabezas. Que del 56, debido a que el primero de los 5 días de cabezas puede estar en cualquiera de los 8 lugares, y, una vez que haya corregido el primero de los 5 días de cabezas, tienes 7 restantes lanzamientos, de los cuales 1 se supone que para ser jefes. También hay 56 formas de tener (al menos) 5 días de colas; restar esos también.

Ahora agregar de nuevo en todas las formas de tener dos instancias de 5 días de cabezas. La única manera para que esto suceda es tener 6 consecutivos cabezas, y hay 7 maneras para que eso suceda. Del mismo modo, los 7 maneras de tener dos instancias de 5 días de colas.

También agregue en todas sus formas de tener 5 días de cabezas y 5 días de colas. Si las cabezas son de 1 a 5, hay 3 lugares para las colas, y 2 maneras de rellenar las otras dos ranuras; si las cabezas son de 2 a 6, 2 lugares de colas, 2 formas para llenar; los jefes de la 3 a la 7, 1 lugar de colas, 2 maneras de rellenar, hacer 12 maneras con las pistas de los jefes anteriores a la ejecución de colas; otro 12 de la otra manera alrededor.

Ahora tenemos que restar todas las formas en que se cumplan tres condiciones. Por cierto, si usted está recibiendo la impresión de que no hay nada de ingenioso acerca de la inclusión-exclusión, al menos para este problema, tienes razón, pero es lo que el cliente quería, y hemos llegado a este momento, así que vamos a ir a por ello. Podemos tener 6 consecutivos jefes y (al menos) 5 días de colas, 4 maneras (jefes, empezando en 1, 2, 6, o 7), o 6 torneos consecutivos y colas de 5 (o más) días consecutivos, cabezas, otro de 4 maneras.

Por último, tenemos que agregar de nuevo en la 2 maneras de cumplir cuatro condiciones; 6 cabezas, seguido por 6 colas, o la otra manera alrededor.

Así que la respuesta parece ser $${12\choose6}-56-56+7+7+12+12-4-4+2$$ lo que es.

MÁS EDIT: me di cuenta de dónde me salió mal. En el último caso, el cumplimiento de tres condiciones, de 6 cabezas y 5 (o más) de las colas puede suceder 6 maneras, no 4. Con el 6 cabezas a partir de la 1, la 5 colas pueden comenzar a las 7 o 8, y con seis jefes a partir de las 7, a las cinco colas, puede comenzar en 1 o 2. Agregar en las cabezas de partida a las 2 o a las 6 y se obtiene 6 maneras, no 4. Esto hace que el cálculo final $${12\choose6}-56-56+7+7+12+12-6-6+2$$, que es de 840, en acuerdo con todos los demás.