Sobre la evaluación de la función zeta de Riemann, incluyendo que $\zeta(2)\gt \varphi$ $\varphi$ Dónde está la proporción áurea

Question

Hace una semana, tengo las siguientes :

Para un entero positivo $k$, el uso de Cauchy–Schwarz desigualdad, $$\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k(n+1)^k}\right)^2\lt \left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2k}}\right)=\zeta(2k)(\zeta(2k)-1),$$ es decir, $$\zeta(2k)^2-\zeta(2k)-\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k(n+1)^k}\right)^2\gt 0.$$ Así, $$\zeta(2k)\gt \dfrac{1+\sqrt{1+4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^k(n+1)^k}\right)^2}}{2}.$$

A partir de esto, podemos tener los siguientes tipos :

$$\zeta(2)\gt \varphi,\qquad\zeta(4)\gt \dfrac{1+\sqrt{1+4\left(\dfrac{\pi^2}{3}-3\right)^2}}{2},\qquad \zeta(6)\gt \dfrac{1+\sqrt{1+4\left(10-\pi^2\right)^2}}{2}$$where $\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$ es la proporción áurea.

Ahora vamos a definir una secuencia $\{a_k\}$ $$a_k=\zeta(2k)-\dfrac{1+\sqrt{1+4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^k(n+1)^k}\right)^2}}{2}$$

Entonces, parece que $\{a_k\}$ es decreciente : $$a_1\approx 0.0269,\quad a_2\approx 0.0044,\quad a_3\approx 0.0006.$$ Pero he estado en la dificultad en la comprobación de que.

Pregunta : Es $\{a_k\}$ disminuyendo? Si es así, ¿cómo podemos demostrar que?

Answer 1

Echemos un vistazo a la primeros términos de cada lado de

$$\zeta(2k) \gt \dfrac{1+\sqrt{1+4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^k(n+1)^k}\right)^2}}{2}. $$

$\zeta(2k) \aprox 1+\frac1{4^k}+\frac1{9^k} $ y $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^k(n+1)^k} \approx \frac1{2^k}+\frac1{6^k} $ así, desde $\sqrt{1+x} \aprox 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8} $,

$\begin{array}\\ 1+\sqrt{1+4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^k(n+1)^k}\right)^2} &\approx 1+\sqrt{1+4\left(\frac1{2^k}+\frac1{6^k}\right)^2}\\ &\approx 1+\left(1+2\left(\frac1{2^k}+\frac1{6^k}\right)^2 -2\left(\frac1{2^k}+\frac1{6^k}\right)^4\right)\\ &\approx 2+\left(2\left(\frac1{4^k}+\frac{2}{12^k}\right) -2\frac1{16^k}\left(1+\frac1{3^k}\right)^4\right)\\ &\approx 2+2\left(\frac1{4^k}+\frac{1}{12^k}-\frac1{16^k}\right)\\ \end{array} $

por lo que la desigualdad se convierte, aproximadamente,

$1+\frac1{4^k}+\frac1{9^k} > 1+\frac1{4^k}+\frac1{12^k}-\frac1{16^k} $ de modo que la diferencia de los dos lados es de aproximadamente $\frac1{9^k}-\frac1{12^k}+\frac1{16^k} $, y este es decreciente.

Computacionalmente, gracias al uso de estas primeras términos no es preciso para la pequeña $k$. Esta diferencia es, para $k=1,2,3$,

${0.0902778, 0.00930748, 0.00103718} $.