Encontrar el punto más cercano al origen de $y=2\sqrt{\ln(x+3) }$

Question

Dado $$y=2\sqrt{\ln(x+3) }$$ ¿Cómo puedo determinar un par (x,y) que satisfaga la relación anterior y que sea el más cercano al origen (0,0)?

Answer 1

Minimizar el cuadrado de la distancia de la curva al origen (y por tanto, la distancia de la curva al origen), a saber: $$x^2+y^2=x^2+4\ln(x+3).$$

Answer 2

Para minimizar la distancia al origen, se minimiza el cuadrado de la distancia al origen, dada por $d^2 = M = x^2+y^2$ ,

$$M = x^2+y^2=x^2+(2\sqrt{\ln(x+3)})^2 = x^2 + 4\ln(x+3)$$

$$\frac{dM}{dx} = 2x + \frac{4}{x+3} = \frac{2x(x+3) + 4}{x+3} = \frac{2x^2 + 6x + 4}{x+3}.$$

Sólo es (posiblemente) igual a cero cuando el numerador es igual a cero,

$$2x^2 + 6x + 4 = 0 \implies x=-2 \ \ \text{and} \ \ x=-1$$

Sabemos que al menos uno de ellos debe estar donde se produce el mínimo, así que basta con introducir los valores de $x$ en la ecuación dada y calcula la distancia desde el origen.

$y(-1) = 2\sqrt{\ln(-1+3)} = 2 \sqrt{\ln(2)} = 1.665 \implies d^2 = (-1)^2 + (1.665)^2 = 2.386$

$y(-2) = 2\sqrt{\ln(-2+3)} = 2 \sqrt{\ln(1)} = 0 \implies d^2 = (-1)^2 + (0)^2 = 1$

Por lo tanto, el punto más cercano al origen es $(-2,0)$ .