Pregunta de transformación lineal de álgebra matricial

Question

Let$A = 4 \times 4$ matrix: $ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 10 & -6 \\ 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 10 & 8 \end {bmatrix} $, let$b = 4 \times 1$ matrix: $ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \\ 4 \\ \end {bmatrix} $

¿Es$b$ en el rango de transformación lineal$x \rightarrow Ax$?
¿Por qué o por qué no?
No estoy muy seguro de lo que está preguntando. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Lamento no saber cómo formatear correctamente las ecuaciones matemáticas en este sitio web, hice todo lo posible para hacerlo legible.

Answer 1

Este es un contraejemplo a la respuesta Hugh Mungus dio: considere la posibilidad de la transformación lineal $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3: x \mapsto Ax$, donde $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Claramente las columnas de a $A$ no abarcan $\mathbb{R}^3$. Cuál es el mapa en realidad no se envía a$(x_1, x_2, x_3)^T$$(x_1, x_2, 0)^T$. Por lo tanto, no es difícil ver que el vector $(2,2,0)^T$ es un elemento de la gama de la lineal mapa.

La forma de proceder es comprobar si el vector $b$ es una combinación lineal de las columnas de a $A$, que se traducen en la realización de Eliminación de Gauss a la matriz ampliada (por ejemplo) y ver si usted puede encontrar una incoherencia (la que usted hizo, viendo tu comentario sobre Hugh Mungus de respuesta).

Yo sólo quería señalar que no es necesario que las columnas a ocupar la totalidad del espacio con el fin de ver si $b$ está en el rango de no. Nota, sin embargo, que si usted se ha encontrado que las columnas de a $A$ do ocupar la totalidad del espacio, que son, evidentemente, de hacer, pero en el caso de que no lo hace, usted todavía no está seguro de si su vector es o no es parte de la gama.

Answer 2

Otro enfoque puede utilizar el concepto de autovalores y autovectores.

Pasos principales son:

1. Encontrar transponer $A^T$.

2. Encontrar los autovalores de a $A^T$

   • si hay sólo no autovalores cero entonces el vector de $b$ se encuentra en el el lapso de $A$
   • si hay cero autovalores entonces denotamos como $v_1, v_2, \dots$ vectores propios vinculados con los obtenidos $0$ autovalores - la matriz construida a partir de estos vectores determina si $b$ pertenece el lapso de $A$ o no, es decir, el vector pertenece si $V=[v_1, v_2, \dots]$ genera la ecuación de $V^Tb=0$ (lo que es equivalente a: no es distinto de cero componentes del vector $b$ en $V$ ( $V$ es el complemento ortogonal de $A$))

Se puede comprobar que para los datos dados a $V$ es la matriz de dimensión $ 4 \times 2$ (dos cero autovalores de a $A^T $ ) y calculadas $V$: $ \ $ $V^TA=0$ pero $V^Tb \neq 0$ por lo que el vector no pertenece al rango de una transformación lineal $A$.

Answer 3

Sugerencia: verifique si las columnas de$A$ span$\mathbb{R}^4$.