¿Se suman los valores propios complejos conjugados por pares para la suma de una matriz y su transpuesta?

Question

Me encontré con algunas matrices como las siguientes:

$A_1=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\end{bmatrix}$ , $A_2=\begin{bmatrix}0.84 & -0.62 & -0.22\\-0.22 & 0.84 & -0.62\\-0.62 & -0.22 & 0.84\end{bmatrix}$ que tienen respectivamente valores propios $\lambda(A_1)=0,~1.5\pm{j*0.866}$ y $\lambda(A_2)=0,1.26\pm{j*0.3464}$ .

Lo que me sorprende es $\lambda(A_1+A^T_1)=0,3,3$ y $\lambda(A_2+A^T_2)=0,2.52,2.52$ es decir, los valores propios de la matriz resultante son la suma de los correspondientes valores propios complejos y complejos conjugados. ¿Está esto asociado a alguna propiedad de las matrices que hace que los valores propios de la resultante sean $(A_i+A^T_i)$ el doble de la parte real de los valores propios de $A_i$ ?

Tengo una matriz más para mostrar una situación similar.

$V=\begin{bmatrix}-0.5773 & -0.5773 & 0.5773\\-0.5773 & -0.288675 & -0.288675\\-0.5773 & -0.288675 & -0.288675\end{bmatrix}$ , lo que da

$\lambda(V)=0,-0.5773\pm{j*0.8164}$ y $\lambda(V+V^T)=0,-1.1547,-1.1547$ .

Mi enfoque: cualquier matriz $A=\dfrac{1}{2}(A+A^T)+\dfrac{1}{2}(A-A^T)$ y para un vector no nulo $x$ obtenemos $x^T{A}x=\dfrac{1}{2}x^T(A+A^T)x$ desde $x^T(A-A^T)x=0$ debido a la asimetría de la $A-A^T$ .

Por lo tanto, $x^T(A+A^T)x=2x^T{A}x=2x^T{P}DP^{-1}x$ , donde $A$ se descompone como $A=PDP^{-1}$ con $D$ siendo una matriz diagonal con todos los valores propios de $A$ a lo largo de su diagonal y $P$ es una matriz unitaria con transposición compleja conjugada denotada por $P^*=P^{-1}$ . Los vectores propios de $A_{1},A_2,V$ son independientes y constituyen una base para $\mathbb{C}^3$ ].

Desde $2x^T{PDP^{-1}}x\leq{2}x^T\text{tr}(PDP^{-1}){x}=2x^T\text{tr}(D){x}=4*\text{real}(\lambda)\|x\|^2$ . Pero esto no me ayuda a probar la afirmación. Una pista o referencias serán muy apreciadas.

Answer 1

Esta propiedad se mantiene aquí sólo porque todos sus ejemplos comparten propiedades muy especiales:

1. $A$ no es invertible
2. $A+A^T$ sigue sin ser invertible (no es automático, véase $A=\left(\matrix{0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\\}\right)$ )
3. Además del valor propio $0$ , $A+A^T$ tiene sólo un valor propio, digamos $\lambda,$ de la multiplicidad $2$ .

Si todo esto se cumple, entonces como $2\lambda=\operatorname{Tr}(A+A^T)=2\operatorname{Tr}(A)$ , se ve que $\lambda$ es efectivamente la suma de los valores propios complejos de $A$ .

Observación. Toda matriz simétrica real tiene valores propios reales. El hecho de que la parte imaginaria desaparezca no es nada sorprendente.

Observación 2. Hay matrices que satisfacen 1. y 2. arriba, que tienen valores propios no reales, pero que no satisfacen 3. (y por lo tanto su conclusión falla para estas matrices). Por ejemplo, tomemos $$A=\left(\matrix{0&0&0\\0&0&-2\\0&1&0\\}\right)$$ Las condiciones 1. y 2. son claras. Los valores propios de $A$ son $0$ y $\pm i\sqrt2$ . Los valores propios de $A+A^T$ son $0$ y $\pm 1$ .

Observación 3. Esto no significa que no haya descubierto algo. Pero tendrías que decir un poco más sobre cómo creaste estas matrices para que alguien pueda derivar una prueba general de lo que está pasando en su configuración específica.

Answer 2

Basándose en los valores propios dados, parece que hay un error en $V$ El signo de la $(1,2)$ -ésima entrada debe ser positiva en lugar de negativa, es decir $$ V=\frac1{2\sqrt{3}}\pmatrix{ -2& 2& 2\\ -2&-1&-1\\ -2&-1&-1}. $$ Se puede comprobar fácilmente que $A_1,A_2$ y $V$ son matrices normales . Dado que las matrices normales son unitariamente diagonalizables, dicha observación se deduce inmediatamente porque se trata básicamente del caso escalar.