¿Es un refinamiento del teorema de cohomología de Hochschild-Kostant-Rosenberg?

Question

El teorema HKR de cohomología de característica cero dice que si $R$ es una álgebra de #% regular, conmutativa %#% ($k$) entonces un cierto mapa $char(k) = 0$ (donde $\bigwedge^* Der(R) \to CH^*(R,R)$ tiene cero diferencial) es un cuasi-isomorfismo de espacios vectoriales de dirección general, es decir, induce un isomorfismo de espacios calificados del vector en cohomología.

¿El morfismo HKR prorrogable a un morfismo de $\wedge^* Der(R)$? ¿Hay un refinamiento en este sentido para compensar el hecho de que no lo es, en la nariz, un morfismo de álgebras de dg?

Answer 1

Sí que la hay. Se observó por Kontsevich hace mucho tiempo que la HKR cuasi-isomorfismo en cochains puede ser corregido para dar un cuasi-isomorfismo de la dg-álgebras y por lo tanto inducir una $A_\infty$ cuasi-isomorfismo de un mínimo de modelos. La corrección es muy natural que uno necesita para componer la HKR mapa de la contracción por la raíz cuadrada de la Todd de la clase, cuando ésta se entiende como un polinomio de la Atiyah clase. Esta historia ha sido estudiado en gran detalle en los últimos años y se ha generalizado más para dar Tsygan formalidad que es un cuasi-isomorfismo de $\infty$-de los cálculos. Esto fue demostrado por Dolgushev-Tamarkin-Tsygan y también por Calaque-Rossi-van den Bergh.

La literatura sobre el tema es enorme, pero usted debe tener un buen sentido de los resultados si usted mira en esta encuesta por Dolgushev-Tamarkin-Tsygan y en este papel de Calaque-Rossi-van den Bergh. También hay muchos interesantes referencias que aparecen en estos documentos, por ejemplo, las obras de Caldararu en el Mukai de emparejamiento.