Una secuencia positiva que es arbitrariamente pequeña y divergente

Question

Dejemos que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia positiva. Supongamos que

1. $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ .
2. $\forall\ \zeta > 0, \exists\ n=n(\zeta) \geq 1: a_n < \zeta.$

De 1. sabemos, que $\forall\ C > 0, \exists\ N = N(C) \geq 1: a_n \geq C, \forall\ n \geq N.$

La diferencia $N(C) - n(\zeta)$ puede interpretarse como el "tiempo de recuperación", es decir, el tiempo que necesita la secuencia para pasar de ser arbitrariamente pequeña a ser mayor que una constante positiva arbitraria $C$ para el resto de su existencia.

Pregunta: ¿Puede alguien pensar en un ejemplo en el que $\forall\ C > 0: N(C) - n(\zeta)$ es arbitrariamente grande? (¿Es esto posible?)

Answer 1

No hay ninguna secuencia que satisfaga sus dos condiciones 1 y 2. Prueba: dado que $a_n \to \infty$ hay una constante $N = N(1)$ tal que $a_n \geq 1$ para todos $n \geq N$ . Entonces sólo hay un número finito de términos menores que 1, y se puede elegir $\zeta$ para ser más pequeño que cualquiera de estos.

Answer 2

No creo que exista una secuencia que satisfaga tanto 1. como 2.

La secuencia $n(1), n(1/2), n(1/3), \ldots$ (usando la notación de la condición 2.) es una secuencia de enteros positivos, y por tanto tiene una subsecuencia monótona. Esta secuencia no puede ser finalmente constante (es decir $n(1/k)=n_*$ para todo lo que sea suficientemente grande $k$ ) si no $a_{n_*} < 1/k$ para todos los grandes $k$ lo que contradice el hecho de que $a_{n_*} > 0$ . Así, $n(1), n(1/2), n(1/3), \ldots$ tiene una subsecuencia creciente, por lo que existe una subsecuencia de $(a_n)_n$ que disminuye a cero. Esto contradice a 1.