Rudin sigue la matemática estilo de escritura de su "sonda para la prueba" en un pedazo de papel, y al llegar a la solución, la redacción de un formal y conciso prueba de que oculta la matemática de la ceja de sudor " que va detrás de él.
El $\text{1.21 Theorem}$ el OP está analizando viene justo después de Rudin introduce los números reales como un completo ordenado de campo en el Capítulo 1; la solución no sólo se puede utilizar el desarrollado axiomática de la maquinaria.
Nos deja la sonda esta materia y el trabajo de algunos 'sudor'.
Tenemos nuestra fijo número real positivo $x$ y un entero $n \gt 0$. En general, la única cosa fácil es encontrar un número real $a \gt 0$ tal que
$\tag 1 a^n \lt x$
Podemos hacer mejor? Podemos 'hacer $a$ mayor de lo que $\text{(1)}$ todavía se mantiene?
Supongamos $b \gt a$. ¿Cómo podemos 'aplicar' la condición de que $b^n \lt x$?
$\tag 2 [ b^n \lt x ] \text{ iff } [ (b^n - a^n + a^n) \lt x ] \text{ iff } [ (b^n - a^n) \lt (x - a^n) ]$
Se puede tomar una o dos páginas de papel de desecho para descubrir que la clave para resolver esto es que
$\tag 3 b^n-a^n<(b-a)nb^{n-1}$
es cierto siempre con $0 \lt a \lt b$. Así que por la configuración de algunos enlazado $M$ e con $b = a + h$, se puede escribir
$\tag 4 b^n \lt h M + a^n \lt hM + x$
Geométricamente, Rudin sabe que $E$ es un intervalo. El conjunto $F$ de los verdaderos números positivos $u^n \gt x$ también es un intervalo abierto. El supremum de $E$ es igual a la infimum de $F$.
Los párrafos anteriores describen el pensamiento conceptual detrás de Rudin la prueba (no cálculo permitido).
La siguiente teoría obtiene el resultado de una manera diferente, y la proposición 2 aclara parte de Rudin del argumento en su construcción a prueba.
Deje $x$ ser fijos número real positivo y $n \in {\mathbb Z}^+$.
Proposición 1: Deje $D \subset (0, +\infty)$ ser un conjunto no vacío de números reales y supongamos que para cualquier $d \in D$, $d^n \gt x$. A continuación,$[\text{inf(D)}]^n \ge x$.
Prueba
Deje $y = \text{inf(D)}$ y llegar a una contradicción, supongamos que $y^n \lt x$. Elija $h$, de modo que $0<h<1$ y
$\quad h<\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}$
Set$a=y$$b=y+h$. Luego, utilizando Rudin (3) de la sección anterior,
$\quad (y+h)^n-y^n<hn(y+h)^{n-1}<hn(y+1)^{n-1}<x-y^n$
Pero, a continuación, $(y+h)^n<x$ $y + h$ debe ser un límite inferior para $D$. Sin embargo, es mayor que $y$$\text{glb}$, una contradicción. $\blacksquare$
Proposición 2: Deje $D \subset (0, +\infty)$ ser un conjunto no vacío de números reales y supongamos que para cualquier $d \in D$, $d^n \lt x$. A continuación,$[\text{sup(D)}]^n \le x$.
Prueba
Deje $y = \text{sup(D)}$ y llegar a una contradicción, supongamos que $y^n \gt x$. Conjunto
$\quad h=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$
Es fácil ver que $0 \lt h \lt y$.
Set$a=y-h$$b=y$. Luego, utilizando Rudin (3) de la sección anterior,
$\quad y^n-(y-h)^n<hny^{n-1}= y^n-x$
Pero, a continuación, $(y-h)^n>x$ $y - h$ debe ser una cota superior para $D$. Sin embargo, es menor que $y$$\text{lub}$, una contradicción. $\blacksquare$
Deje $E = \{t \gt 0 \, | \, t^n \lt x \}$$F = \{t \gt 0 \, | \, t^n \gt x \}$.
Proposición 3: $\text{sup(E)} = \text{inf(F)}$ y si denotamos este número por $\gamma$,$\gamma^n = x$.
Prueba
Deje $\beta = \text{inf(F)}$. Por la proposición 1, $\beta^n \ge x$.
Deje $\alpha = \text{sup(E)}$. Por la proposición 2, $\alpha^n \le x$.
Desde $\beta$ es un límite superior para $E$, $\alpha \ge \beta$.
Desde $\alpha$ es un límite inferior para $F$, $\alpha \le \beta$.
Por lo $\alpha = \beta$ y la proposición de la siguiente manera. $\blacksquare$
En un comentario del OP tenía una pregunta sobre cómo derivar la desigualdad. Para ser completo, incluso si no es necesario, considere esto:
La identidad de $b^n-a^n=(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})$ los rendimientos de la desigualdad
$b^n-a^n<(b-a)nb^{n-1}$
al $0<a<b$.
Tenemos $n$ términos en $b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+b^0 a^{n-1}$, pero desde $a \lt b$,
$|b^{n-1}a^0+b^{n-2}a^1+\cdots+b^0 a^{n-1}| \lt |b^{n-1}a^0|+|b^{n-2}a^1|+\cdots+|b^0 a^{n-1}| \lt$
$\quad |b^{n-1}|+|b^{n-1}|+\cdots+|b^{n-1}| \lt n b^{n-1}$
En su pregunta, el OP preguntar ¿de dónde viene el denominador provienen de
$\quad h<\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}$
Esto es lo mismo que trabajar con un $[\varepsilon , \delta]$ a prueba de cálculo. Después de la 'sondeo', nos pusimos $h$ (como hacemos con los $\delta$) a lo que funciona y muestra de que se pueden controlar las cantidades. En esencia, estamos usando el hecho de que la función $f(x) = x^n$ es continua, pero el libro aún no ha discutido ese concepto.
