Ceros de polinomios en anillos arbitrarios

Question

El libro que me estoy leyendo introduce polinomios sobre un campo y demuestra la declaración de que un polinomio de grado $n$ tiene más de $n$ ceros. Hacen esto mediante el uso del algoritmo de la división y de la inducción.

Entonces hacen el siguiente comentario:

Esto no es cierto para el polinomio más arbitrario de los anillos. Por ejemplo, $x^2 + 7 \in \mathbb{Z}_8$ tiene raíces $1,3,5,$$7$.

Mi pregunta: ¿qué falla en la prueba anterior arbitrarias de los anillos? Se acaba de hacer este comentario y se fue.

Editar -- Prueba (de Gallian):

Procedemos por inducción sobre $n$. Claramente, un polinomio de grado $0$ sobre un campo no tiene ceros. Ahora supongamos que $f(x)$ es un polinomio de grado $n$ sobre un campo y $a$ es un cero de $f(x)$ de la multiplicidad $k$. A continuación, $f(x)=(x-a)^kq(x)$$q(a) \neq 0$. Tenga en cuenta que han $\text{deg }f = n = k + \text{deg }q$. Si $f(x)$ no tiene ceros otros de $a$, hemos terminado. Por otro lado, si $b \neq a$ $b$ es un cero de $f(x)$,$0=f(b)=(b-a)^kq(b)$, de modo que $b$ es un cero $q(x)$ con la misma multiplicidad que tiene para $f(x)$. Por el Segundo Principio de Inducción Matemática, sabemos que $q(x)$ tiene más de deg $q(x)=n-k$ ceros, contando multiplicidad. Por lo tanto, $f(x)$ tiene más de $k + n -k = n$ ceros, contando multiplicidad.

Answer 1

La cuestión es que la división polinómica no es única en $\mathbb Z_8$. Esta es la consecuencia de la existencia de divisores cero.

Usted podrá verificar %#% $ #%

proporcionando evidencia que $$x^2+7=(x-1)(x-7)=(x-3)(x-5)$ son raíces.

Answer 2

Generalmente, usted puede ir de una factorización como $(x-1)(x-2)=0$ a la par de ecuaciones $x-1=0$ $x-2=0$ para obtener sus soluciones. Para ello se utiliza la propiedad del producto cero, que dice que si $AB=0$ entonces $A$ o $B$ son iguales a cero. Esta falla más arbitrario de los anillos. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, la propiedad del producto cero falla debido a $2\cdot 4=4\cdot 4=4\cdot 6=0$. Así que si queremos resolver los $(x-1)(x-7)=0$, entonces hay seis cosas que pueden suceder. Ya sea: $$ (1)\;\;\;\;x-1 = 0\;\;\textrm{o}\;\; x-7=0\\ (2)\;\;\;\;x-1 = 2\;\;\textrm{y}\;\; x-7=4\\ (3)\;\;\;\;x-1 = 4\;\;\textrm{y}\;\; x-7=2\\ (4)\;\;\;\;x-1 = 4\;\;\textrm{y}\;\; x-7=4\\ (5)\;\;\;\;x-1 = 4\;\;\textrm{y}\;\; x-7=6\\ (6)\;\;\;\;x-1 = 6\;\;\textrm{y}\;\; x-7=4 $$ Los únicos que pueden ocurrir son: (1), (2) y (5) el uso de $x=1,7$ $x=3$ $x=5$ respectivamente. Por lo tanto, las soluciones son $1,7,3,5$. Tenga en cuenta que los ceros adicionales corresponden tanto a cero divisores de la base del anillo, así como dos diferentes factorizations en el polinomio de anillo.

En general, si $R$ tiene divisores de cero, a continuación, $R[x]$ no han única factorización, ya que hay una correspondencia entre los ceros y los factores de un polinomio. Los divisores de cero puede asegurar que hay "demasiados" los factores.

Por ejemplo, supongamos $a,b$ ser divisores de cero y vamos a $c,d$ ser cualquier otro de los valores que $a-b=c-d$. Set $s=a+d=b+c$. Considere el polinomio $p(x)=(x-c)(x-d)$. Claramente $x=c,d$ son raíces. Pero, además, en $p(s)=(b+c-c)(a+d-d)=ab=0$. Por lo $x=s$ también es una raíz, y puede comprobar que la $x=t$ donde $t=c+d-s$, también es una raíz. A continuación, obtener $p(x)=(x-c)(x-d)=(x-s)(x-t)$.

Answer 3

El problema es la existencia de ceros divisores en el ring.

División de polinomios no siempre trabajo a lo largo de los anillos que no son campos. Por ejemplo, $x^2-5$ no puede ser dividido por $2x+1$$\mathbb Z$.

División de polinomios por monic polinomios funciona sobre todos los anillos. Por lo tanto, si $a$ es una raíz de un polinomio $p$ sobre un anillo de $R$,$p(x)=(x-a)q(x)$. Si $b\ne a$ es otra raíz de $p$,$(b-a)q(b)=0$. Desafortunadamente, no podemos concluir que el $q(b)=0$, debido a $b-a$ podría ser un divisor de cero en a $R$.