Clasificación de los enteros positivos no es la suma de cuatro cuadrados de distinto de cero

Question

Es bien sabido que cada entero positivo es la suma de cuatro cuadrados perfectos (incluyendo $1$).

Pero que los números positivos no son la suma de cuatro-cero cuadrados perfectos ($1$ todavía se permite como un cuadrado perfecto) ?

Me mostró que el número $2^k$ , $2^k\cdot 3$ y $2^k\cdot 7$ con entero positivo impar $k$ tienen esta propiedad. He comprobado los números hasta $10^4$ y por encima de $41$, sin ejemplos , distintos de los mencionados formularios , ocurrió. Así que mi pregunta es si los enteros positivos con la propiedad deseada existe.

Answer 1

página 140 en Conway pequeño libro, $$ 1,3,5,9,11,17,29,41, \; 2 \cdot 4^m \; , \; 6 \cdot 4^m \; , \; 14 \cdot 4^m \; . $$ La prueba está en la misma página, con materiales de preparación en las últimas páginas.

El primer detalle: cualquier número $3 \pmod 8$ es la suma de tres cuadrados, mientras tanto debe ser impar plazas, por lo tanto distinto de cero. El cuadrado de cualquier número que sea divisible por $4$ hace $0 \pmod 8.$ Como resultado, cualquier número $6 \pmod 8$ es la suma de tres plazas, $ (2A)^2 + B^2 + C^2,$ donde $A,B,C$ debe ser impar plazas, por lo tanto distinto de cero.

10 de junio: Segundo detalle: si $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 \pmod 4,$ $x,y,z$ son todas iguales. Esto significa que $12 \pmod{32}$ es la suma de tres a cero plazas. Mismo para $24 \pmod{32}$

Answer 2

Algunos de mis topograph respuestas, en orden de número de la pregunta. Tengo mejor con los diagramas medida que pasaba el tiempo. Si usted acaba de ver en estos, no sucederá nada. Si usted dibuja algunas de sus propios ejemplos, usted comenzará a entender.

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LIBROS:

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf (Conway)

http://www.springer.com/us/book/9780387955872 (Stillwell)

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf (Hatcher)

http://bookstore.ams.org/mbk-105/ (Weissman)

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RESPUESTAS:

http://math.stackexchange.com/questions/81917/another-quadratic-diophantine-equation-how-do-i-proceed/144794#144794

http://math.stackexchange.com/questions/228356/how-to-find-solutions-of-x2-3y2-2/228405#228405

http://math.stackexchange.com/questions/342284/generate-solutions-of-quadratic-diophantine-equation/345128#345128

http://math.stackexchange.com/questions/487051/why-cant-the-alpertron-solve-this-pell-like-equation/487063#487063

http://math.stackexchange.com/questions/512621/finding-all-solutions-of-the-pell-type-equation-x2-5y2-4/512649#512649

http://math.stackexchange.com/questions/680972/if-m-n-in-mathbb-z-2-satisfies-3m2m-4n2n-then-m-n-is-a-perfect-square/686351#686351

http://math.stackexchange.com/questions/739752/how-to-solve-binary-form-ax2bxycy2-m-for-integer-and-rational-x-y/739765#739765 :::: 69 55

http://math.stackexchange.com/questions/742181/find-all-integer-solutions-for-the-equation-5x2-y2-4/756972#756972

http://math.stackexchange.com/questions/822503/positive-integer-n-such-that-2n1-3n1-are-both-perfect-squares/822517#822517

http://math.stackexchange.com/questions/1078450/maps-of-primitive-vectors-and-conways-river-has-anyone-built-this-in-sage/1078979#1078979

http://math.stackexchange.com/questions/1091310/infinitely-many-systems-of-23-consecutive-integers/1093382#1093382

http://math.stackexchange.com/questions/1132187/solve-the-following-equation-for-x-and-y/1132347#1132347 <1,-1,-1>

http://math.stackexchange.com/questions/1132799/finding-integers-of-the-form-3x2-xy-5y2-where-x-and-y-are-integers

http://math.stackexchange.com/questions/1221178/small-integral-representation-as-x2-2y2-in-pells-equation/1221280#1221280

http://math.stackexchange.com/questions/1404023/solving-the-equation-x2-7y2-3-over-integers/1404126#1404126

http://math.stackexchange.com/questions/1599211/solutions-to-diophantine-equations/1600010#1600010

http://math.stackexchange.com/questions/1667323/how-to-prove-that-the-roots-of-this-equation-are-integers/1667380#1667380

http://math.stackexchange.com/questions/1719280/does-the-pell-like-equation-x2-dy2-k-have-a-simple-recursion-like-x2-dy2

http://math.stackexchange.com/questions/1737385/if-d1-is-a-squarefree-integer-show-that-x2-dy2-c-gives-some-bounds-i/1737824#1737824 "semillas"

http://math.stackexchange.com/questions/1772594/find-all-natural-numbers-n-such-that-21n2-20-is-a-perfect-square/1773319#1773319

Hay una simple prueba de que si $(b-a)(b+a) = ab - 1$, $a, b$ deben ser números de Fibonacci? 1,1,-1; 1,11

Para encontrar todas las soluciones integrales de $3x^2 - 4y^2 = 11$